Los significados de las operaciones

Secuencia Didáctica
Fundamentación:

Trabajar en secuencias  implica construir   aprendizajes en donde la acción del sujeto que aprende, sobre el objeto de conocimiento debe apropiarse de él y transformarlo. Este accionar no se da de forma desorganizada    ,sino que tiene una dirección marcada por los propósitos educativos y se concreta en las actividades secuenciadas del aprendizaje. La secuencia comprende el orden y el grado de profundización, teniendo en cuenta el grado de desarrollo y madurez del alumno.
Todas las secuencias guardan estrecha relación con la situación del aula y por lo tanto específicas para una situación.
Se pone énfasis para mejorar las prácticas habituales que todos los docentes tenemos a la hora de “ enseñar “ las divisiones . Nunca se me hubiera ocurrido analizar el resto a la hora de enseñar la división. No recuerdo que me lo hayan enseñado ni en la secundaria .

Contenido: Operaciones

Aspecto: Los significados de las operaciones

Objetivo:
Trabajar  la relación entre los términos de la división en un dominio numñérico de la división exacta.
Organización:
Se han incluido actividades grupales y actividades individuales.
Para las actividades grupales, se les proveerá a los alumnos de una hoja grande en la que los niños anotarán la resolución o resoluciones logradas. Dichas producciones luego serán presentadas a los compañeros, produciéndose una discusión de las distintas alternativas.
Los grupos serán de no más de 4 niños, modificando la formación de los mismos en diferentes días. Deben ser heterogéneos en cuanto a las diferentes posibilidades de resolución, de forma tal que los niños con menos dificultad compartan con los de mayor dificultad. En la mayoría de los días se incluyen actividades individuales que deben ser realizadas en los cuadernos.
La consigna y el enunciado de los problemas debe ser leído en voz alta por el
docente. Esta lectura será reiterada hasta tener la certeza de que los niños han
comprendido la situación planteada.
Se trabajará en grupo de varios alumnos, dado que de esta manera pueden ensayar distintas posibilidades de resolver la situación, poniéndose así diferentes conocimientos puestos en juego. Segundo momento, puesta en común  y confrontación
Tercer momento: institucionalización. ( Los alumnos deben percibir la dependencia entre el dividendo, divisor, cociente y resto. para continuar la próxima actividad)

Tiempo: aproximadamente treinta minutos de trabajo en equipo, treinta minutos para la puesta en común y diez minutos para la institucionalización.


Materiales a utilizar en la secuencia:
Material concreto: lápices , vasos, chapitas.
Material impreso

ACTIVIDAD 1:
Objetivo: Detectar que números intervienen en una división y cómo dependen entre ellos.

Consigna:


A).-Repartir   37 lápices en   3 vasos

LAPICES                  VASOS
Dividendo    Divisor    Cociente    Resto
37    3




ACTIVIDAD 2:
Objetivo: Análisis del  resto con los otros números que intervienen en la división sin realizar el algoritmo convencional


Consigna:

B).-Son 56 niños que quieren viajar en camioneta.
Van 8 en cada viaje,
¿Cuántos viajes se harán?

Son 52 niños que quieren viajar en camioneta.
En cada viaje pueden ir solamente 7 personas.
¿Cuántos viajes se harán?¿Qué sucede con el resto de los niños?







Posibles procedimientos:
•    A.-Atribuir de entrada valores muy bajos (1,2,3 por ejemplo  al cociente)
•    B.-Acudir a restas sucesivas para llegar al resultado.
•    C.-Sumas.
•    D.-Estimar de entrada un intervalo en el cual el resultado va a estar con
•    el apoyo de la multiplicación en el intento de resolución de la división.
•    E.-No controlar el resto.
•    F.-Estimar a la hora de buscar el cociente.
•    G.-Valor posicional del Sistema numérico decimal.
•    H.- Uso de algoritmos convencionales.
•    I.- Repertorios de cálculos
•    J.- División equitativa y exhaustiva.



Condiciones de realización.

La puesta en común en el  pizarrón  y la confrontación. La  práctica individual determina un significado personal  y es exitoso compartirlo entre todos
.En la confrontación está el motor de aprendizaje entre los conocimientos adquiridos y los conocimientos nuevos .
Tercer momento: institucionalización. ( Los alumnos deben percibir la dependencia entre el dividendo, divisor, cociente y resto. para continuar la próxima actividad).
En la primera actividad se pone énfasis en que los alumnos han aprendido D=dxc como práctica habitual en las aulas.. En la puesta en común se les enseña otra igualdad : D = d x c + r
En la segunda actividad se plantean dos enunciados en donde  los alumnos deben decidir que hacer con el resto. Es importante destacar que en una de ellas ,el resultado no ofrece dificultades. Son 7 viajes. En el segundo enunciado si. Debe analizarse entonces el resto.






Intervención docente:

De todos estos procedimientos posibles se seleccionan el A, E y el H.
Se eligen estos procedimientos porque algunos niños atribuyeron valores y otros realizaron repertorios de cáculos aproximado. Y el tercero porque los restos no coincidían por lo que se les cuestionan ¿Por qué te dio 1 o 3?
¿Qué pasó?.
Se convoca a los alumnos a usar estrategias, ver qué argumentos empiezan a circular. ¿Qué opinas del resto ? ¿Te parece que está correcto?
Explica cómo lo hiciste.
¿Qué resto descartamos?
De esta manera, se le está exigiendo al alumno anticipar resultados y controlar los que va obteniendo.
El docente: analiza los procedimientos de los alumnos. Se toman dos ejemplos y se problematiza al preguntarle ¿cuál de estas divisiones es la correcta? teniendo en cuenta que hay una condición: el resto  debe ser menor que el cociente, por lo que se les guía para señalar las respuestas correctas con las siguientes preguntas:
¿Cuánto debe valer el cociente si tenemos este dividendo y divisor?
¿Cuántos restos posibles hay?
¿Indicarme que hiciste para obtener este el resto?
¿Qué operaciones usaste?
¿Cuál es la operación contraria a la división?
¿Dónde te vas a fijar para ver si es correcta  tu respuesta?



Conocimientos puestos en juego:

Sistema de numeración.
Multiplicación-División-resta.
Repertorios de cálculos

Descripción de una supuesta puesta en común de las actividades de la secuencia.
El docente conduce el orden de presentación y organiza el debate, procurando que los alumnos discutan la validez de los trabajos que presentan.
Los alumnos discuten cuánto asignar de entrada al cociente, cómo usar el sistema de numeración, cómo estimar de entrada un intérvalo en el cual va a estar el resultado con el apoyo de la multiplicación, y del cálculo mental.
En contextos discretos los estudiantes de segundo grado utilizan distintas estrategias para hacer los repartos; El docente guía la discusión solicitando que “ demuestren el por qué? Siguieron ese camino.Existe una diferencia notable entre los que reparten uno a uno, haciendo rondas hasta terminar, y los que hacen divisiones entre el número de objetos a repartir y el número que reciben. Esta diferencia, indica la necesidad de buscar estrategias que agiliten los procesos de reparto en esos niños y niñas poniéndose énfasis en el resto.
Se aborda la división entera y el cociente exacto poniéndose énfasis en las relaciones entre, dividendo, divisor cociente y el resto.
Oportunidad de trabajar reflexionando sobre la importancia del resto. Luego finalizadas las  actividades  presentadas se realiza la puesta en común.
Al no usar el algoritmo convencional los alumnos pueden encontrar otros significados. Se deja en claro con este ejercicio las relaciones que están involucradas entre  Divisor, Divisor , Cociente y Resto . Este tipo de actividades realizadas en la secuencia , los alumnos tienen que decidir que hacer con el resto. No es lo mismo personas que objetos .En la primera actividad la dificultad está en que se ponen en juego y se  involucran muchas operaciones.
Cuando se analiza las relaciones entre los D,d,q y resto se presentan trabajos de 2 o 3 alumnos. Se elige uno que haya tenido un error (por ejemplo una división que le sobre más en el resto que el cociente) y otros correctos. Se les pide en forma colectiva que revisen y que expliquen donde está el error.
En la segunda actividad se analiza el resto porque dependerá del resto.
¿Dónde te vas a fijar para ver si el resto es el correcto?

Luego de que entiendan puede que los niños estén en condiciones de de aplicar el algoritmo convencional. Aprender una operación no se reduce a aprender el algoritmo, ni tampoco se considera al algoritmo como conocimiento central del aprendizaje.

Con respecto a la 2da actividad se guía a los alumnos a detectar alguna particularidad  entre el resto.
Se llega a la conclusión que el resto no puede ser mayor que el divisor ni el dividendo lográndose por los conocimientos que se ponen  en juego al ver la tabla y las estrategias utilizadas..

Reflexión Final:

Este tipo de actividades son útiles porque implica que debemos dedicar un tiempo para que los alumnos piensen, realicen estrategias y descubran caminos de resolución. Puedan ellos mismos explicar y desarrollar argumentos. Es importante que ellos mismos puedan ver que relación existe entre esos números y la relación que existe al dividirlos.
Luego de esto, terminar la secuencia con la mirada puesta del resto, porque en la mayoría de los casos al dividir, siempre prestamos atención al cociente, (incluso cuando los docentes corregimos) y nunca ponemos en evidencia con respecto al resto. Los alumnos deben de recurrir al resto. Los alumnos deciden si hacer un viaje más o no.
A la hora de enseñar no olvidar evitar nuestras prácticas habituales, como por ejemplo hacer énfasis en el algoritmo y no en la relación entre los números.

Bibliografía:

Briggs,L,”El ordenamiento de secuencia en la instrucción”Guadalupe,BsAs,1973.

Chamorro,Mª del Carmen,(2006)”Didáctica de las matemáticas”Madrid,Ed.
Pearson.

Del Carmen,L,”El análisis y la secuenciación de los contendidos educativos, Ice Horsori, Barcelona,1996.


Parra,Ceclia(1994)”Cálculo mental en la escuela primaria” en Parra,Ceclia
Saiz,Irma(Comps)”Didáctica de las Matemáticas”

Pazos,Lliana(2005)”Vamos a hacer cuentas” en Rodríguez Rava, Beatriz
Xavier de Mello,(coms).Quehacer matemático en la
Escuela, Montevideo, Editorial Fondo Queduca.