Enseñanza de la división .Matemática escolar.

Contenido: DIVISIÓN

Fundamentación. Por qué elegimos este contenido.
*Está presente en todo el ciclo escolar.
*Es la operación que suele presentar más rechazo o dificultades en los niños y más ansiedad en los padres.
*Aparece con una gran riqueza para desarrollar todos los aspectos a trabajar en una operación.

Dificultades y enfoque de la enseñanza aprendizaje de la división
“En el momento de abordar el eje Operaciones en la escuela primaria, son variados los problemas a los cuales el maestro se tiene que enfrentar. Ocupa un lugar importante el relativo a la enseñanza de la división. Los docentes destacan que a los alumnos se les dificulta reconocer que un problema se resuelve con esta operación si no aparecen indicadores del tipo “repartir”, y que en aquellas consignas donde figura dicha palabra, los alumnos suelen dividir aunque esta operación no resuelva la situación. Surgen también dificultades al momento de enseñar el algoritmo convencional, el cual es muy costoso para alumnos y maestro en cuanto a la relación tiempo-aprendizaje”. Con estas palabras de Ariel Fripp en “Un aporte a la enseñanza de la matemática: reflexiones en torno a la división como objeto de estudio”, publicado en el Quehacer Educativo, Nº 86, FUM/TEP, Montevideo, 2007, no debe haber maestra que no se sienta identificada, especialmente las de sexto año, cuyos alumnos siguen viéndola todavía como ”la operación inaccesible”, debiendo dedicar horas de la jornada escolar a enseñarla.
Una de las dificultades, como señala Plunkett (1979), surge de que muchas veces se identifica concepto con algoritmo y, por ejemplo, para enseñar la división se enseña un método, pero no una “idea”; no se enseña el concepto de dividir, que va a guiar, a la hora de hacer los cálculos, con más fidelidad que la aplicación ciega de reglas memorizadas. Los niños llegan a realizar las operaciones de manera mecánica, automática, sin referencia de contexto ni de situación. Es preferible que las operaciones –y por lo tanto la división– se aprendan en el marco de las situaciones que se producen, insertas en ellas y no de manera aislada.
Es todo esto lo que nos conduce a considerar la división como objeto de estudio, convencidas de que comprender la división como operación es más que “saber hacer la cuenta” ¡y esto ya cuesta bastante!
Se hace necesario promover distintas situaciones de manera que los alumnos aborden la división desde sus distintos significados; debemos acercar al alumno al concepto de división, de manera que pueda entender verdaderamente su significado. Es también esperable que se generen actividades donde la relación Dividendo-divisor-cociente-resto sea problematizada, analizando los términos de la división, pudiendo constatar la dependencia que existe entre el resto y del divisor. Es fundamental trabajar la matemática, y en este caso en particular la división, desde la reflexión. No es lo mismo saber dividir que saber hacer divisiones. En Operaciones con números naturales, Editorial Acción Educativa, Madrid, 1984, Ferrero, L afirma que saber dividir implica un conocimiento conceptual, mientras que se pueden hacer divisiones con un mero conocimiento procedimiental.
Por su parte Maza, C., en Enseñanza de la suma y de la resta, Editorial Síntesis, Madrid, 1991, señala que si el algoritmo se enseña atendiendo a la comprensión conceptual del procedimiento seguido se recuerda mejor su realización, se aumenta su capacidad de transferencia y la capacidad de reducir y corregir el número de errores que se cometen. Por eso es importante ahondar en la comprensión de lo que se hace.
En Una nueva didáctica del cálculo para el siglo XXI, CissPraxis, Barcelona, 2000, Jaime Martínez Montero propone una forma sencilla y cercana de aprender división, y para eso sugiere pautas para que, al menos las dificultades más evidentes, se puedan superar. Es así que plantea que la operación tiene que cumplir ciertos principios:
a)    El dividendo y el divisor deben ser números con claros referentes (el dinero, por ejemplo, que es fácil de simular con materiales sencillos y al alcance de todos, y además permite entender la equivalencia y el cambio de unidades).
b)     La división no se debe hacer “de una vez”. Son repartos que están ligados, pero que son distintos; es necesario que cada uno de ellos se acabe, para saber lo que queda y poder seguir adelante.
c)    El dividendo recibe un tratamiento integral, es considerado siempre como un número con sentido.

Aspectos:
*Significados
*Relaciones con otras operaciones
*Relaciones con el sistema de numeración decimal
*Propiedades
*Relaciones entre las propiedades
*Cálculo
*Algoritmos
*Resignificaciones en los diferentes conjuntos numéricos
*Notación

Significados
Agrupamiento y reparto
En un contexto de proporcionalidad
Siguiendo a Beatriz Rodríguez Rava en su trabajo “De las operaciones… ¿qué podemos enseñar?” publicado en El quehacer matemático en la escuela, Fondo Editorial Queduca, Montevideo, 2005, valoramos que operaciones es un contenido  presente en todo el ciclo escolar con una gran riqueza de aspectos a ser trabajados.
Al egresar de la escuela, habiendo trabajado en diferentes conjuntos numéricos, los niños han de tener competencia operatoria y comprensión de las operaciones.
Competencia significa más que técnica de cálculo y algoritmo; implica saber manejar los conceptos y las relaciones que una operación representa. Las preguntas “tengo que hacer una de por?, ¿es esta la cuenta?, ¿es de menos?” deberían haber sido superadas al entrar al liceo.
Muchas veces pensamos que un alumno es bueno en matemática porque pasa al pizarrón y resuelve el algoritmo rápidamente, incluso explicando el mecanismo que él usa para lograrlo. Los padres también esperan de sus hijos esta destreza. Si bien el algoritmo es una trasmisión cultural a respetar, de nada sirve si no se domina la operación que está contenida o escondida en él.
Es importante considerar además la variación de contextos al trabajar las operaciones. Los alumnos suelen manejar como un cliché que la “cuenta de menos“ se hace cuando la pregunta es “¿cuánto gastó? Los contextos cotidianos son útiles, pero también pueden ser lúdicos, y pueden y deben ser intramatemáticos sin necesidad de recurrir a situaciones forzadas y fácilmente esterotipables.
Trabajar la división como reparto es interesante. Cuando se reparte, el divisor pertenece a un espacio de medida diferente del divisor, mientras que el cociente pertenece al mismo espacio que el dividendo y el resto también. Si prestamos atención al resto, éste, que también es del mismo espacio que el dividendo y el cociente, en la situación de reparto permite cambiar de conjunto numérico: si es posible, se puede pasar a los números decimales.
Ese “si es posible” es clave para saber si el alumno está entendiendo el significado de la operación. Si se trata de repartir niños en mesas no puede trabajar con decimales, pero si se trata de repartir cilindros de plasticina, sí. Es muy importante al trabajar la división como reparto enseñar a controlar el resto.
En la división como agrupamiento el dividendo y el divisor son del mismo espacio de medida; y el cociente es de otro. Ejemplo: rueditas para construir autitos.
En las situaciones problema, ya sea de la vida cotidiana, lúdicas o matemáticas el docente debe manejar el lugar de la incógnita al variar los significados. También es importante que los alumnos hagan este proceso, proponiéndoles que inventen enunciados a partir de ciertas operaciones, o que completen datos.

Relación de la división con otras operaciones
Para evidenciar y experimentar la relación de la división, por ejemplo con la resta, es importante permitir y promover el desarrollo de algoritmos artesanales, de estrategias propias en situaciones de agrupamiento y reparto, porque la propia construcción del concepto de división implica la relación con la resta, y el algoritmo convencional también la incluye. Un “buen alumno” ha de saber responder, a partir de tercer año, por qué resta al hacer el algoritmo convencional.
Si dejamos entrar la matemática a la escuela en el sentido en que lo dicen David Block y Martha Dávila en el trabajo “La matemática expulsada de la escuela” publicado en Educación Matemática 3, Vol 5, México, 1993, como matemática informal, permitiremos a los alumnos construir su propio concepto de la división en su relación con las otras operaciones.
El niño construye o descubre el sentido de repartir mediante restas sucesivas, hasta no quedarse con nada o con muy poco, intentando la división exacta y exhaustiva.
La intervención docente debe problematizar el algoritmo si éste ya está aprendido mecánicamente, o ayudar a construirlo comprensivamente. Los padres de los alumnos también aprendieron en la escuela el lenguaje formal y las reglas sintácticas de la matemática tal como lo definen Block y Dávila. Pero pueden recibir bien esta nueva visión que legitima los procedimientos informales, los esfuerzos artesanales por pensar matemáticamente, por buscar soluciones a los problemas, por inventar procedimientos de solución. Es necesario valorar los algoritmos que los alumnos sean capaces de crear para llegar al uso flexible de algoritmos tradicionales; es importante flexibilizar algo tan rígido como el algoritmo tradicional de la división.
Se trata de ir de la matemática de las personas a la matemática  formal. Este camino tiende a enriquecer los procesos mentales de cada niño, que además sirven de dispositivos didácticos para los docentes.
La relación de la división con la multiplicación es tan evidente, que muchas veces, si preguntamos por la argumentación de una respuesta correcta en una situación de agrupamiento, por ejemplo, el niño contesta que multiplicó. Si manejamos el enfoque de las estructuras multiplicativas estas respuestas lejos de deprimirnos deben alegrarnos, porque significa que el niño está inmerso en pleno proceso constructivo, está poniendo en juego conocimientos adquiridos y los está usando con pertinencia.

Relaciones con el sistema de numeración decimal
La división entre 10 y con decimales dan cuenta de las relaciones de la división con el sistema de numeración decimal (SND).
Esos pequeños “trucos” institucionalizados por la familia, que pasan de generación en generación pueden ser problematizados para producir avances conceptuales. Ejemplos: para dividir entre 10 números terminados en 0, ”le saco el 0”, dicen los niños. La intervención docente debe apuntar a rever el valor posicional y la base 10 de nuestro sistema como recursos subyacentes.
Si el dividendo termina en cifra diferente de 0, “le pongo coma” o, “le corro la coma” son las respuestas más frecuentes. Pero hay que explicar por qué, y eso se explica por las características del SND.
Lo mismo sucede cuando” le agrego un cero al resto” y “pongo la coma” (en el divisor). Agregar el 0 es transformar, por ejemplo, 4 en 40 décimos, para así seguir dividiendo. Pero esto dicho así hay que enseñarlo.

Propiedades
Invarianza del cociente
El cociente no varía cuando varían el dividendo y el divisor, pero la relación entre ellos es la misma porque fueron multiplicados por el mismo número.
(35 % 7 = 5 y 70 % 14 = 5). Si multiplicamos dividendo y divisor por  el mismo número, el cociente no varía. El divisor siempre está contenido 5 veces. Un caso especial es la división entre 10 (35 % 7 = 5 y 350 % 70 = 5 y 3,50 % 0,7= 5).
Estaríamos trabajando también junto con la propiedad de invarianza la relación con el SND y la resignificación en otro conjunto numérico. En los decimales la división la división no “achica” (3,50 % 0.7 = 5). Esta propiedad se pone en juego en los repertorios de cálculo: 120 % 40 = 3 porque 12 % 4 = 3.

Cálculo
Como dicen Cecilia Parra en el capítulo VII, “Cálculo mental en la escuela primaria”, del libro Didáctica de matemáticas: aportes y reflexiones, Cecilia Parra e Irma Saiz (comps), Editorial Paidós Educador, Buenos Aires, 2005, el cálculo se apoya en las propiedades del sistema de numeración decimal y en las propiedades de las operaciones, y pone en juego diferentes tipos de escritura de los números, así como diversas relaciones entre ellos.
Adhiriendo a la concepción de que calcular es ante todo prescindir de las colecciones de objetos, implicando repertorios (operaciones memorizadas), poniendo en juego las propiedades de las operaciones y el conocimiento del SND, toda actividad de cálculo de hecho evalúa avances conceptuales en cada grado.
En cuanto a los repertorios, de cada grado y de la escuela los niños han de salir con un cierto repertorio memorizado. Los juegos de cartas, de casilleros, de dados, y muchas situaciones de la vida cotidiana ayudan mucho, pero la intervención docente debe promover las actividades de cálculo, tanto exacto como aproximado. En ese sentido, si promovemos las estrategias artesanales estamos haciendo cálculo, ya que éste no es el algoritmo imaginado, “en la cabeza”, sino que supone métodos alternativos a los escritos.
Para el cálculo exacto los niños pueden usar lápiz y papel y calculadora, dependiendo de la situación. Con el cálculo aproximado también.
La calculadora es una excelente apoyatura para cálculo y para poner en en juego conocimientos y su relación con el SND.
Los padres se sorprenden o no ven con buenos ojos que no sólo permitamos sino que promovamos el uso de la calculadora.
El asunto es cuando y para qué. En general los niños usan la calculadora para evadir el algoritmo y para corroborar resultados. Pero puede servir para descubrir propiedades (invarianza de la división) o para ver las relaciones entre conjuntos numéricos como la división de un número natural por otro natural da un número racional.

Algoritmo
Si bien la enseñanza del algoritmo no debe ser apresurada y es necesario demorarlo, para que el niño construya todos los aspectos de la operación es importante manejar la relación entre sus términos.
El algoritmo de la división es muy difícil porque es hermético, poco transparente. Sin embargo, cualquier escolar es capaz de dividir, desde el momento que puede repartir y agrupar, algo que los niños siempre buscan hacer siempre en forma justa y equitativa.
La relación entre los términos es muy importante en la división y es de primordial importancia el control del resto. Proponer actividades donde los alumnos deban anticipar el resultado previendo que el cociente no puede ser mayor que el dividendo o tener más cifras que el dividendo, que el resto no puede ser mayor que el divisor, etc, es una manera de trabajar el algoritmo.
Lo mismo sucede con las variaciones: ¿qué pasa con el cociente y el resto si varío el dividendo? (24 % 3 = 8 y 25 % 3 = 8 con resto 1, etc.). Se puede descubrir regularidades.

Resignificaciones en los diferentes conjuntos numéricos
Resignificar la división al cambiar de conjunto numérico, en especial, cuando pasamos a trabajar con números racionales, no naturales. Se debe pensar y cuestionar ideas que se han fijado en los niños, como por ejemplo, que la multiplicación siempre “agranda” y la división “achica”, que siempre se debe dividir el número “más largo” por el “más corto”.

Notación
Un elemento importante es resignificar el signo = en la división.
Los niños escriben y todos aceptamos: 25 % 3 = 8 y esto no es así; en rigor deberíamos decir 25 % 3 tiene como cociente 8 y resto 1. O por lo menos, decir 25 % 3 = 8 con resto 1.
(Todo esto no es posible verlo con una calculadora.)

Consideraciones finales
Viendo cómo trabajar cualquier aspecto de la división pone en juego los conocimientos sobre los otros aspectos, y sabiendo que operaciones y numeración han de trabajarse juntos, es muy importante la planificación de las actividades. Los números adquieren sentido y ganan potencialidad en la medida en que entran en las operaciones, combinándose entre sí de diversas maneras. Del mismo modo, a través de las operaciones los niños entran en el mundo de los números. Al planificar las actividades relativas a la enseñanza de la división es muy importante determinar bien el objetivo-contenido de cada actividad, y es muy importante la gestión de la puesta en común, para que la institucionalización sea coherente con el objetivo. La puesta en común es el espacio didáctico de enseñanza y aprendizaje. En este caso el saber específico es la división. Las discusiones deben centrarse en el aspecto de ella elegido. Para que se produzcan avances conceptuales es necesario promover intercambios, exigir argumentaciones, problematizar, relacionar y descubrir regularidades.

Bibliografía

Belmonte Gómez, Juan Miguel, “Las relaciones multiplicativas: el cálculo multiplicativo y de división. Cálculo mental y con calculadora”. En Chamorro, Mª del Carmen, (coordinadora), Didáctica de las matemáticas, Pearson Prentice Hall, Madrid, 2006.

Block, David; Dávila, Martha, “La matemática expulsada de la escuela”. En La enseñanza de la matemática en la escuela primaria, SEP, México, 1995.

Chemello, Graciela, “El cálculo en la escuela: ¿las cuentas son un problema?” En Iaies, Gustavo (comp.), Los CBC y la enseñanza de la matemática, Editorial AZ, Buenos Aires, 1998.

Ferrero, L., Operaciones con números naturales, Editorial Acción Educativa, Madrid, 1984.

Fripp, Ariel, “Un aporte a la enseñanza de la matemática: reflexiones en torno a la división como objeto de estudio”. En Quehacer Educativo, Nº 86, FUM/TEP, Montevideo, 2007.

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Martínez, Patricia; Moreno, Eva, “Aprendiendo a dividir”. En Revista Básica, Nº 11, Fundación SNT, México, 1996.

Maza, C., Enseñanza de la suma y de la resta, Madrid, Editorial Síntesis, 1991.

Parra, Cecilia, “Cálculo mental en la escuela primaria”. En Didáctica de matemáticas: aportes y reflexiones, Cecilia Parra e Irma Saiz (comps), Editorial Paidós Educador, Buenos Aires, 2005.

Pazos, Liliana, “Vamos a hacer unas cuentas”. En Rodríguez Rava, Beatriz; Xavier de Mello, Alicia (comps.) El quehacer matemático en la escuela, Fondo Editorial Queduca, Montevideo, 2005.

Rodríguez Rava, Beatriz, “De las operaciones… ¿qué podemos enseñar?” En Rodríguez Rava, Beatriz; Xavier de Mello, Alicia (comps.) El quehacer matemático en la escuela, Fondo Editorial Queduca, Montevideo, 2005.