La división

Contenido: división.
Objetivo: Trabajar la división  en un contexto de números naturales con un dominio numérico hasta 140 y dividido entre 12.

Situaciones que se presentaron a los alumnos.

1.- La maestra tiene 140 cascolas de colores.
Quiere poner la misma cantidad en 12 mesas.
¿Cuántas cascolas tiene que dejar en cada mesa?

2.- La maestra tiene 140 colores. Quiere poner 12 en cada caja.
¿Cuántas necesita?

Posibles procedimientos:

Confundir los espacios de medida.
Dibujar y calcular por sumas o restas.
Dibujar y poner dentro la cantidad .
No comprender la consigna.
Necesidad de conteo uno a uno.
Utilizar repertorios y proceder por conteo.

Desarrollo de la actividad.

Se  ubican los alumnos en grupos de a cinco.
Los alumnos  dieron lectura de las dos  propuestas y rápidamente intervinieron diciendo que era un problema. Preguntaron por cual empezar.
Docente: Se les aclaró que podían empezar por cualquiera de los dos.
Se observa que en la totalidad empezaron por el primero.
Un niño preguntó si había que restar  o sumar.
Docente:- ¿Por qué me dices eso?
- Contestó : Porque tiene números.
Se intervino preguntándoles al resto del grupo si estaban de acuerdo y por qué? .
Varios niños contestaron:
Alumno -Es un problema porque tiene el signo de pregunta ¿?
Docente: (escribo en el pizarrón una pregunta) y todos los niños la leen :
“¿Cómo te llamas?” -  y pregunto al grupo si era un problema.
Alumnos -Todos dijeron que no.
Docente: ¿Por qué no?
Alumno: Ahí no tengo que usar la cabeza para pensar. Ya sé como me llamo.
Docente: pregunto.- :
-¿Qué tiene este trabajo para que podamos decir que es un problema.
Alumno- Tiene números.
Docente- Bien y qué mas me pueden decir?
Alumno- Hay una pregunta que tengo que responder.
Docente: -Piensen algo más para afirmar que es un problema.
Alumno- Hay que “ hacer algo”?
Docente: ¿Qué hay que hacer? Dame una razón de  por qué debes hacer algo.
Alumna- Hay que repartir las cascolas .”Me pide” que reparta. (Hace referencia a  una de las situaciones    presentadas).
Alumno- Y en el segundo problema hay que “poner” en cajas.
Docente:- Entonces…¿ cómo pueden resolverlos?
Alumno: repartiendo .Hacemos una división.
Un alumno pasa y escribe el algoritmo en el pizarrón.
Luego de unos instantes varios alumnos dijeron que no sabían dividir aunque habían planteado por escrito el algoritmo: 140     12       en el pizarrón.

Intervención docente: (sobre la lectura del enunciado).

Se explica a los alumnos que el enunciado de un problema, utilizado cuando trabajamos en el área de matemática y que tiene características propias.
Hay que comprenderlo muy bien  para realizar la tarea que debe resolverse.
Hay que leer con mucha atención.
Comprenderlo.
Seleccionar los datos necesarios.
Y  que la solución dependerá de las preguntas. Éstas nos guían para encontrar estrategias de búsqueda de la solución.
Hay tantas estrategias como niños hay en clase.
Alumno: ¿Entonces vamos a tener muchos resultados?
Docente: NO, debemos llegar a un mismo resultado. Las estrategias de las que hablo son los caminos que cada uno de ustedes utiliza para llegar al resultado.
Habían confundido estrategias con resultado.

Conocimientos puestos en juego en esta instancia oral de presentación colectiva de la actividad:

Conocían el algoritmo, pero no sabían resolverlo.
Nombraron palabras : dividendo, divisor y cociente y resto.
Tenían vocabulario específico de la asignatura.
No sabían el mecanismo.
-Docente: Pueden “pensar cualquier manera de resolverlo”.
Acá no hay reglas. Es como un juego.

Análisis de las diferentes formas para resolver la propuesta .

Detalle de algunas estrategias realizadas por los alumnos:

Caso 1

Conocimientos puestos en juego:

Este ejemplo y otros tantos que se observaron los alumnos lo resuelven en su mayoría iban contando pero lo interesante era que las iban repartiendo en  las 12 mesas.
Muchos trabajos como este  que se ha seleccionado ,se vieron en esta clase. Luego de hacer las rayitas, las encerraban . En esta actividad de acción este niño resuelve y puede dar un   resultado.
Dibuja y agrupa
Quería hacerlo en forma equitativa. No quería que sobrara ni que le faltara.
Tiende a buscar una división exacta y exhaustiva.
Se preocupó porque en una mesa iba a ver ocho y dijo que faltaban para llegar a  estar completa como las demás, pero que si lo hacía se pasaba del 140.
Tenía muy claro uno de los datos del enunciado.
Se preocupó por el resto. Dijo que le sobraban.¿Que podía hacer con el resto?
Docente: Vuelve a leer el enunciado. Fíjate que pide.
Alumno: Que reparta.
Docente: ¿Y?
Alumno: Es cierto, no importa que sobren. Voy sólo a repartir.
En  al segunda propuesta se observa que dibuja, representa a los 12 colores con rayitas, pero a cada caja le va poniendo un 12 en cada una y arriba le agrega una serie numérica de 12 en 12. Sumaba mentalmente (me lo dijo) para no pasarse.

Caso 2

Conocimientos puestos en juego:

Esta niña , claramente dijo que sobran 8.
Se observó su forma de trabajo. Primero dibujó las 12 mesas(Dibujó cuadrados vacíos al principio). Luego fue poniendo 10 en cada una. (repartió ).
Como le sobraban muchas volvió a contar y borró y puso el 11. Ella niña estimó. Luego rectifica , y pone 11.
Luego contó de 1 en 1 para intentar poner el 12 pero dijo “ que se pasaba del 140”
Docente:¿Y en el segundo trabajo?
Niña: Es el mismo que el anterior, lo que en vez de ser cascolas la respuesta son 11 cajas.  -por eso no dibujé nada.

Docente:¿Pero si era 140 repartido en 12? ¿Da diferente entonces?
Niña: -Da lo mismo de número pero diferente las “cosas”
¿Entonces que se reparte en cada caso( Intervención docente)
Niña: En el primero se repartían cascolas en 12 mesas.
En el segundo teníamos que poner 12 lápices en cada caja.

Maneja el repertorio porque reparte contando de 11 en 11.
Se observa la forma en que ubica las mesas de (6 en 6 ).Comentó que le “quedaba más cómodo así” “seis arriba y seis abajo” son 12.
Pone en juego conocimiento de suma

Caso 3

Conocimientos puestos en juego:

Este alumno realiza su actividad mediante  restas sucesivas.
No tuvo el control de sus restas y su energía fue decayendo hasta decir “ estoy cansado•
Docente:- ¿Por qué restaste de a 12?-pregunto para ver que procedimientos empleó y que conocimientos pone en juego.
Alumno:- Iba poniendo 12 en cada mesa.
Docente: ¿Hasta cuando pensabas restarle 12?
Alumno: Así cada vez  me iba quedando con menos hasta llegar a 0 .
Este alumno  maneja una de las propiedades de la división ( exacta y exhautiva)
Docente: Lee nuevamente el enunciado. Dice repartir. No dice restar.
Alumno: Igual estoy repartiendo.
Sabía que al quitar siempre 12 afirmó estaba repartiendo igual para todos.
Utilizó la resta para resolver. Manejó conocimientos que ya sabe, que ya domina.
No llegó a realizar el segundo trabajo.
Intervención docente: Se solicitó al alumno que buscara otra forma para realizarlo.
Se le sugirió  que pensara al menos que haría y lo dijera verbalmente.
Alumno: Tendría que dibujar  cajas y pondría dentro los 12 colores
Docente:: ¿Puedes representar el número de cajas que se utilizarían?
Alumno: Si iría contando 12 + 12+ 12……. hasta llegar a poner todos los colores.
Tampoco confundió los espacios de medida. Habló de colores y cajas de colores.
Agrupó de a 12 colores y sabía que lo que dibujaría serían  cajas. Si bien no lo realizó al cálculo por escrito, el alumno realiza un cálculo mental y relaciona a la división con otra operación, en este caso : la suma.

Según Bergnaud  identifica varios campos conceptuales, entre ellos el de las estructuras aditivas y multiplicativas.
Entre las primeras  se ubica dos de las operaciones básicas: la suma y la resta.(1)

(1)El Quehacer Matemático e la escuela. Fondo QUEDUCA.

Caso 4

Conocimientos puestos en juego:

En la primer propuesta esta alumna tiene avances y no necesitó de dibujos
( representaciones gráficas).Usa la suma y el cálculo como repertorio pero intenta  repartir todas las 140 y lo hace primeramente entre 10.
Si bien el resultado no era el esperado, cuando le volví a preguntar
Docente:¿Cuántas cascolas en cada mesa? Lee de nuevo el enunciado y dime donde está la cantidad de cascolas que hay que repartir y la cantidad de mesas.
Alumna: ¡Ahhh me parece que no da justo!.Tengo que sumar con un número más grande.Lo intenta nuevamente. Llega hasta 132 y a partir de ahí sigue de uno en uno, ve que son 8  y me avisa que le sobran 8.
Docente: ¿Por qué el 12 y no el11? Como hiciste con el 10?
Alumna: Por que dice 12 acá. Y señala la letra del enunciado.
Docente?-¿Cómo te diste cuenta de la cantidad de mesas?
Alumno: Porque hay 11 doces
Docente:¿Qué hacemos? Porque tu dibujaste mas.
Alumno: Si pero volví a hacerlo y le saqué un 12 pero me sobran 8 ahora,
lo dejo así. No alcanza para otra mesa.
Me interesó como la alumna en la segunda propuesta  iba poniendo puntitos al lado del 12 que sabía que eran 12 lápices para cada caja.
Docente: ¿Qué significan esos puntitos?
Alumna: Son cuantas  cajas que voy a usar para poner los lápices.
Docente: ¿Explicame mejor cómo pensaste eso?
Alumna : toma el lápiz y  los numeró poniendo 1,2,3 ….hasta llegar al 11. Dice que así sabía cuantas eran: Eran 11 dijo. (Lo hace con seguridad) Va poniendo según lo que sabe en cada puntito.
Utiliza el conteo, la suma, la proporcionalidad, porque 12 era 1, 12 era un 2 y así sucesivamente.
Luego en el espacio superior de la hoja comienza a dibujar las cajas. Reparte a todas por igual.
Docente- ¿Y las que sobran?
Alumna:- Sobran porque no alcanzan .
Docente: ¿explícame que es lo que no alcanza?
Alumna: Las que me van sobrando “ no me da” para “ armar “ otra caja de colores.
Esta alumna supo repartir siguiendo una de las propiedades de la división: dividir con equidad. Por eso agrupó de a 12

Análisis de cada categoría teniendo en cuenta los conocimientos puestos en juego en el reparto.

Caso    Procedimiento utilizado    Conocimientos puestos en juego

Intervención docente
1
Conteo  de uno en uno hasta llegar al 140.
Cuenta mentalmente.    El niño tenía el sentido de lo que significa repartir.
Repartir equitativamente encerrando en grupos de a 12.Lee y recita en orden la serie primeramente.
Cuenta hasta 12 y cierra con un línea.
Leer nuevamente el enunciado para  ver que pide. Análisis del  el resto.
2
Utiliza gráfico y números naturales. Primero realizó un cálculo y retoma nuevamente.
Conteo de 1 en 1    Manejo de las incógnitas.
Estimación.
Uso de la suma.    Se trabaja con los espacios de medida.
¿pero si era 140 repartido entre 12?
Y en el 2º caso
140 para poner la misma cantidad en cajas)

3
Restas     Sentido de repartir mediante la resta sucesivas hasta llegar a no quedarse con nada.    ¿hasta cuándo pensas restarle 12?
¿Dice repartir no restar?
En la 2ª propuesta resolicita que por lo menos explique  y lo diga verbalmente.
4
No utiliza esquemas ni gráficos.
Utiliza repertorios numéricos y conteo.
Al llegar al 132 sigue de 1 en 1 su conteo.    Intento de realizar divisón exhaustiva.
Descubre que los nº del 132 al 140 sobran.
Enel 2º trabajo uso de la suma .
Usa el conteo y la proporcionalidad 12-1, 12-2 etc. Propiedad de la división( equidad)
Releer el enunciado por el 1er intento que hace.
¿Cuántas cascolas por mesas,lee elenunciado?
El resto?

En la 2ª actividad se repregunta ¿Qué significan esos puntitos? Para ver que espacios de medida dominaba la niña

Puesta en común:

Luego de finalizada la tarea,  los alumnos participan y cuentas las formas utilizadas o los mecanismos.
Si bien al principio al preguntarles el maestro de clase ¿pudieron resolverlo?
La mayoría del grupo dijo que sí.
En realidad no hubo dificultad porque todos se manejaron bien al comprender el enunciado.
Establecieron correspondencia entre los números de las cuentas que hacían y los datos aportados en el enunciado.
Cuando uno planteaba su estrategia, otros niños decían que habían hecho otra cosa y la explicaban a su manera. Como docente no intervine ni a favor ni en contra a pesar de que cada alumno me exigía la aprobación de su trabajo personal.
Lo bueno fue ver que todos prestaban atención a la estrategia usada por el compañero. Si bien dudaban de su compañeros, todos iban justo al resultado al que habían llegado.
Docente: Les expliqué que todas las formas servían si sabían que querían hacer.
Alumno: Teníamos que repartir. Todos entendieron el significado.
Lo bueno que ellos mismos supieron llegar a la misma conclusión: había que repartir, dividir .Pero cada le dio un sentido diferente.
En esta tarea se utilizaron dos situaciones, una de reparto y otra de agrupación dentro de un contexto de proporcionalidad. Por eso se pusieron dos actividades. Porque el contexto de proporción cambia el significado.
En el 1º había que repartir y en el 2º agrupar  de a 12 en cada caja.
Docente: pero si había que dividir ¿Por qué ustedes usaron sumas y restas?
Alumno: Para contar bien y dar igual a cada mesa.
Alumno: o cajas.
Se observa que manejan bien los datos que entraron en juego en el ejercicio.
Según la propuesta estaban en juego  2 espacios de medida.  A pesar de que contestaron algunos que las 2 situaciones eran iguales se explicó:
Docente: en la primera (la incógnita) “,lo que se pretendía descubrir” ,era la cantidad de  mesas y en la segunda eran cajas.
El docente pregunta- ¿ qué tenemos que tener en cuenta de este trabajo?
Una intervención de formulación para que el niño argumente.
Alumno: los datos del problemas.
Docente: ¿Puedes nombrarlos para todos?
Alumno: 140 cascolas,12 mesas y la cantidad que vamos a poner en cada mesa.
Docente: ¿Y en elsegundo caso?
Alumna: 140 colores y cuántas cajas .
Docente: Vuelvan a leer y digan ¿que otro dato importante necesito?
Alumno: La cantidad de colores que vamos a poner en cada caja.
Docente ¿ Qué solución encontraron?
Alumno: Yo  lo hice como pude porque el número era muy alto.
-¿Qué significa muy alto?
-Que es grande, tiene tres cifras.
Alumno: Además eso todavía, repartirlo entre doce me costó más.
Docente: Pero, que operación podría hacer que ustedes conocen?
Alumno: una división., pero no sé hacerla porque nunca dividí entre 12.
Alumno: Además esa cantidad no hay en nuestra clase.
Se utilizó este campo numéricode 140  para que las situaciones fueran ficticias y no reales para que el niño tuviera que pensar.
Docente:-¿Puede resolverse con un algoritmo?
Alumna:- Si pero no la sabemos hacer.¿podés hacerla en el pizarrón?
Docente:- Si, y realicé el algoritmo convencional.
Alumno: A vos te llevó menos tiempo que a nosotros, la hiciste en cinco minutos.( sienten la necesidad de aprender el algoritmo) recién están dándose cuenta del para qué usarlos.
Docente: les prometo que en los próximos días los ayudo.
Pero…. Que pasó con los resultados? A todos nos sobró 8 y en el segundo daba 11 cajas.
Alumna: Todos tenemos el mismo resultado.

Docente:¿Por qué no pusieron respuesta entonces si sabían el resultado? Había una pregunta y tenían que responderla. Siempre que exista una pregunta , hay que responderla. Ustedes ponen por escrito 8 y yo pregunto ¿8 que?, ponen 11 y yo pregunto ¿11 qué?.Si bien todos responden a coro  y sabían de qué estábamos hablando nadie escribió correctamente la respuesta. Lo dieron por sentado que se entendería.
En esta  puesta en común  es de alguna manera complementaria de la devolución.
Dice Brousseau  que es necesario reconocer en estos procesos los roles principales del maestro.
Los comportamientos o producciones de los alumnos suponen establecer relaciones con el saber cultural.
Debe sacarse conclusiones a partir de lo producido por los niños y profundizarlos.

Bibliografía:

Pazos,Liliana(2005),”Vamos a hacer cuentas” en Rodríguez Rava,Beatriz,Xavier
de Mello,Alicia(Comps)El Quehacer Matemático en la Escuela,Fondo Queduca,Montevideo.

Martínez,P,Moreno,E ,(1996),”Aprendiendo a dividir” en Revista Básica”Nº 11.