Numeración .Valor posicional.

Si se entrevistan  en clase en forma individual, se puede plantear que hay un conocimiento de numeración y del valor posicional en segundo año de escuela y en el mes de junio.
Los alumnos en sus diferentes y variadas respuestas, las que en general son positivas y con posturas receptivas, pueden responder a las preguntas pautadas en la entrevista como a las intervenciones docentes oportunas, en que vi la necesidad de plantear en  algunas oportunidades.
Dicha necesidad, de realizar otras intervenciones docentes, de las plenteadas, surge de las respuestas mismas que daban los alumnos.
Se introducen en las entrevistas variables didácticas, las cuales no estaban previstas en el ejercicio. Estas variables, que introducen elementos nuevos a los ejercicios promueven y demuestran avances conceptuales.
Al hablar de número en nuestro sistema de numeración nos encontramos con elementos, con hipótesis que aparecen en las entrevistas.
Quiero destacar  la importancia que se le debe de dar en la escuela, a las “buenas prácticas de enseñanza”, para la comprensión de la  numeración.
Nuestro sistema de numeración  es económica pero no transparente. Los alumnos no peden como en otros sistemas de numeración, determinar el dibujo del símbolo y el valor del mismo. Por ello en las entrevistas en algunas ocasiones pregunto especialmente: “Si fueran chocolates, con que dos te quedarías 211 o 112? Me remito específicamente al valor posicional.
Es importante seguir indagando en las hipótesis que traen los  alumnos, y en las dificultades que plantea la numeración hablada, que no es posicional, de la numeración escrita.
La hipótesis de que la numeración hablada se traduce en la notación escrita  es lo que lleva a los niños a producir notaciones no convencionales.
Por ejemplo en la entrevista Nº 2 cuando Tatiana no lee el número 112, le pido que lo escriba. Aquí se ve claramente que hace una correspondencia equívoca en  112 escribiendo 1012 y una lectura de 112.
Además presenta la hipótesis “el primero es el que manda” y “ a mayor número de cifras mayor valor”. Responde el  mayor 211 de 112 porque el 2 está primero.
Cuando le muestro las notaciones de 211 y 1012 (escrita por ella) responde que el más grande es 1012 porque al contar las cifras para ella dice” vale más”.


Lucio en la entrevista Nº 1 y  Ana Lucía en la entrevista Nº 3, Paula en la entrevista Nº 6 y Camilo en la entrevista Nª 9 responden el valor del número más grande desde los nudos, desde las familias. En sus respuestas se escucha:
Camilo: “porque este tiene doscientos (211) y este tiene cien (112). Este (211) es de una fila y este (112) es de una fila más chica”
Aquí Camilo puede comparar el valor de ambas notaciones no por las hipótesis “el  primero es el que manda”  al igual que Lucio, Ana lucía y Paula, sino por pertenecer ambas notaciones a la familia de los cien y de los doscientos.
Se ve en la respuesta de:

Paula:
M: ¿Cuál de los dos es más grande?

P:   Éste, señala y lee el 211.

M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?

LP  Porque este (211) es de los doscientos y vale más, es más grande que el 112.
M: ¿El 211 es más grande porque es de los doscientos, y el 112 de quién es?
P: Es del 137 que yo tomo con mamá para venir a la escuela. Pero es más chico.”
Paula además de saber que pertenecen a familias diferentes compara y relaciona con la numeración de la vida cotidiana: “Es del 137 que yo tomo con mamá para venir a la escuela. Pero es más chico.” Se ve el valor social del uso del número.
Si se restringe el campo numérico se le impide a los alumnos poner en juego lo que saben. En este caso Paula llega a la escuela en el ómnibus 137. Lo ve escrito, lo maneja lo sabe, y lo utiliza en este ejercicio que le plantea el docente. Se aprende mejor conociendo otros números y la relación entre ellos. Paula dice que el 112 es del 137. Hay que seguir investigando en la secuencia didáctica a trabajar qué significa para Paula y para otros niños que el 112 es del 137, no dice el 112 es de los cienes , como dice el 211 es del 200.  Paula no solo puede recitar el número 137 del ómnibus, o sea escribirlo y leerlo. Va más allá lo relaciona con los cienes en el número 112.

Ana Lucía responde teniendo presente los nudos:
“ Porque  es el 200 y vale más el 2 cuando va adelante que cuando va atrás”  A pesar de decir cuando va adelante que cuando va atrás, ya se diferencia en su respuesta un esbozo de los nudos al decir “porque es el 200”.

En la entrevista Nº 4 de Lucio F. Se ve que puede diferenciar el valor de las notaciones por las hipótesis ”el primero es el que manda”   LF:   “porque el dos está adelante (señala el 211) y el uno aquí (señala el 112) está adelante.
A pesar de responder correctamente hay que seguir explorando en Lucio F ya que después no logra contestar correctamente ¿si fueran chocolates el 2 del 211 y el 2 del 112, con cuál te quedarías? Aquí Lucio F. Responde por momentos bien desde la hipótesis “el primero es el que manda” y logra decir que es más grande el 2 del 211, porque está primero. Luego dice que ambos dos del 211 y del 112 valen lo mismo:
M: Cuántos chocolates hay en este 2 (211)?
L F: dos
M: ¿Y cuántos hay en este 2  (112)?
L F: dos.

En la entrevista Nº 7 Horacio responde también por la hipótesis “el primero es el que manda”, pero demuestra en el final de sus respuestas que el valor del dos en 211 y en 112 es diferente por la posición.
M: ¿Cuántos chicles hay en el 2 del  211 y el  2 del 112? (le muestro la cartilla)
H: Señala el 2 del  211 y dice: “son doscientos chicles”, y señala el 2 del 112 y dice: “son dos chicles”

Sofía en la entrevista Nº 8 no presenta dificultad alguna. Llega a jugar incluso con la suma de las cifras:

M: ¿Cuál de los dos es más grande?

S:   Éste, señala y lee el 211.

M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?

S:  Porque  vale más.
Pero si sumaras todos las cifras ( se ríe, señalando las cifras 1, 1,  2 de ambos números 112 y 211) valen lo mismo . Valen cuatro.
M: Pero qué número es más grande?
S: El  211
M: ¿Por qué?
S: Porque  está después que el 112.
(Se muestra muy segura al responder)

Andrés de 7años (entrevista Nº 10)  se muestra muy reticente a la entrevista, negándose a responder varias veces con un “no se”-.
Puede decirse que sabe cual de los dos es más grande y señala, pero no colabora en fundamentar.
No lee los números 211 y 112 pero escribe correctamente los números 100 y 200. Aquí hay que investigar además en los nudos. Puede ser que memorice los nudos sin comprensión.

Continuar trabajando y generando “buenas prácticas de enseñanza”  en numeración es fundamental en nuestras escuelas.
Como mencioné anteriormente nuestro sistema de numeración es económico porque la posicionalidad hace a que diez símbolos sean suficientes para poder escribir finitas notaciones numéricas.
Pero economía y transparencia no son dos variables independientes. Al ser el sistema de base diez económico no lo hace transparente. Esto lleva al trabajo en numeración desde diferentes prácticas y a las oportunas intervenciones docentes para producir avances conceptuales hacia el concepto de posicionalidad  y transparencia. Es por ello que cuando hablo de pensar y repensar en “buenas prácticas de enseñanza” me remito a Brousseau:” .....una cierta dosis de errores y contrasentidos, no solo del lado de los alumnos, sino también del lado de la enseñanza.....”



“Al pensar el trabajo didáctico con la numeración escrita es imprescindible tener presente una cuestión esencial: se trata e enseñar-y de aprender-un sistema de representación .Habrá que crear situaciones que permitan develar la organización propia del sistema como descubrir de qué manera este sistema encarna las propiedades de la estructura aritmética que él representa…”(3)



(3) Parra Cecilia“Didáctica de las matemáticas ,p.p143.El sistema de numeración:un problema didáctico Lerner y Sadovsky.






Bibliografía
Curti. Maria del Carmen “El quehacer matemático en la escuela”.
Parra,Cecilia”Didáctica de matemática”Ed Paidos “EL sistema de numeración :un problema didáctico de Delia Lerner y Patricia Sadovsky.
Ressia,Beatriz,(2003)”La enseñanza del número y del sistema de numeración en el nivel inicial y primer año de la E.G.B.Ed Paidós. Mabel Panizza (Com)
Xavier de Mello Alicia “El quehacer matemático en la escuela”