Secuencia Didáctica
Fundamentación:
Trabajar en secuencias implica construir aprendizajes en donde la acción del sujeto que aprende, sobre el objeto de conocimiento debe apropiarse de él y transformarlo. Este accionar no se da de forma desorganizada ,sino que tiene una dirección marcada por los propósitos educativos y se concreta en las actividades secuenciadas del aprendizaje. La secuencia comprende el orden y el grado de profundización, teniendo en cuenta el grado de desarrollo y madurez del alumno.
Todas las secuencias guardan estrecha relación con la situación del aula y por lo tanto específicas para una situación.
Se pone énfasis para mejorar las prácticas habituales que todos los docentes tenemos a la hora de “ enseñar “ las divisiones . Nunca se me hubiera ocurrido analizar el resto a la hora de enseñar la división. No recuerdo que me lo hayan enseñado ni en la secundaria .
Contenido: Operaciones
Aspecto: Los significados de las operaciones
Objetivo:
Trabajar la relación entre los términos de la división en un dominio numñérico de la división exacta.
Organización:
Se han incluido actividades grupales y actividades individuales.
Para las actividades grupales, se les proveerá a los alumnos de una hoja grande en la que los niños anotarán la resolución o resoluciones logradas. Dichas producciones luego serán presentadas a los compañeros, produciéndose una discusión de las distintas alternativas.
Los grupos serán de no más de 4 niños, modificando la formación de los mismos en diferentes días. Deben ser heterogéneos en cuanto a las diferentes posibilidades de resolución, de forma tal que los niños con menos dificultad compartan con los de mayor dificultad. En la mayoría de los días se incluyen actividades individuales que deben ser realizadas en los cuadernos.
La consigna y el enunciado de los problemas debe ser leído en voz alta por el
docente. Esta lectura será reiterada hasta tener la certeza de que los niños han
comprendido la situación planteada.
Se trabajará en grupo de varios alumnos, dado que de esta manera pueden ensayar distintas posibilidades de resolver la situación, poniéndose así diferentes conocimientos puestos en juego. Segundo momento, puesta en común y confrontación
Tercer momento: institucionalización. ( Los alumnos deben percibir la dependencia entre el dividendo, divisor, cociente y resto. para continuar la próxima actividad)
Tiempo: aproximadamente treinta minutos de trabajo en equipo, treinta minutos para la puesta en común y diez minutos para la institucionalización.
Materiales a utilizar en la secuencia:
Material concreto: lápices , vasos, chapitas.
Material impreso
ACTIVIDAD 1:
Objetivo: Detectar que números intervienen en una división y cómo dependen entre ellos.
Consigna:
A).-Repartir 37 lápices en 3 vasos
LAPICES VASOS
Dividendo Divisor Cociente Resto
37 3
ACTIVIDAD 2:
Objetivo: Análisis del resto con los otros números que intervienen en la división sin realizar el algoritmo convencional
Consigna:
B).-Son 56 niños que quieren viajar en camioneta.
Van 8 en cada viaje,
¿Cuántos viajes se harán?
Son 52 niños que quieren viajar en camioneta.
En cada viaje pueden ir solamente 7 personas.
¿Cuántos viajes se harán?¿Qué sucede con el resto de los niños?
Posibles procedimientos:
• A.-Atribuir de entrada valores muy bajos (1,2,3 por ejemplo al cociente)
• B.-Acudir a restas sucesivas para llegar al resultado.
• C.-Sumas.
• D.-Estimar de entrada un intervalo en el cual el resultado va a estar con
• el apoyo de la multiplicación en el intento de resolución de la división.
• E.-No controlar el resto.
• F.-Estimar a la hora de buscar el cociente.
• G.-Valor posicional del Sistema numérico decimal.
• H.- Uso de algoritmos convencionales.
• I.- Repertorios de cálculos
• J.- División equitativa y exhaustiva.
Condiciones de realización.
La puesta en común en el pizarrón y la confrontación. La práctica individual determina un significado personal y es exitoso compartirlo entre todos
.En la confrontación está el motor de aprendizaje entre los conocimientos adquiridos y los conocimientos nuevos .
Tercer momento: institucionalización. ( Los alumnos deben percibir la dependencia entre el dividendo, divisor, cociente y resto. para continuar la próxima actividad).
En la primera actividad se pone énfasis en que los alumnos han aprendido D=dxc como práctica habitual en las aulas.. En la puesta en común se les enseña otra igualdad : D = d x c + r
En la segunda actividad se plantean dos enunciados en donde los alumnos deben decidir que hacer con el resto. Es importante destacar que en una de ellas ,el resultado no ofrece dificultades. Son 7 viajes. En el segundo enunciado si. Debe analizarse entonces el resto.
Intervención docente:
De todos estos procedimientos posibles se seleccionan el A, E y el H.
Se eligen estos procedimientos porque algunos niños atribuyeron valores y otros realizaron repertorios de cáculos aproximado. Y el tercero porque los restos no coincidían por lo que se les cuestionan ¿Por qué te dio 1 o 3?
¿Qué pasó?.
Se convoca a los alumnos a usar estrategias, ver qué argumentos empiezan a circular. ¿Qué opinas del resto ? ¿Te parece que está correcto?
Explica cómo lo hiciste.
¿Qué resto descartamos?
De esta manera, se le está exigiendo al alumno anticipar resultados y controlar los que va obteniendo.
El docente: analiza los procedimientos de los alumnos. Se toman dos ejemplos y se problematiza al preguntarle ¿cuál de estas divisiones es la correcta? teniendo en cuenta que hay una condición: el resto debe ser menor que el cociente, por lo que se les guía para señalar las respuestas correctas con las siguientes preguntas:
¿Cuánto debe valer el cociente si tenemos este dividendo y divisor?
¿Cuántos restos posibles hay?
¿Indicarme que hiciste para obtener este el resto?
¿Qué operaciones usaste?
¿Cuál es la operación contraria a la división?
¿Dónde te vas a fijar para ver si es correcta tu respuesta?
Conocimientos puestos en juego:
Sistema de numeración.
Multiplicación-División-resta.
Repertorios de cálculos
Descripción de una supuesta puesta en común de las actividades de la secuencia.
El docente conduce el orden de presentación y organiza el debate, procurando que los alumnos discutan la validez de los trabajos que presentan.
Los alumnos discuten cuánto asignar de entrada al cociente, cómo usar el sistema de numeración, cómo estimar de entrada un intérvalo en el cual va a estar el resultado con el apoyo de la multiplicación, y del cálculo mental.
En contextos discretos los estudiantes de segundo grado utilizan distintas estrategias para hacer los repartos; El docente guía la discusión solicitando que “ demuestren el por qué? Siguieron ese camino.Existe una diferencia notable entre los que reparten uno a uno, haciendo rondas hasta terminar, y los que hacen divisiones entre el número de objetos a repartir y el número que reciben. Esta diferencia, indica la necesidad de buscar estrategias que agiliten los procesos de reparto en esos niños y niñas poniéndose énfasis en el resto.
Se aborda la división entera y el cociente exacto poniéndose énfasis en las relaciones entre, dividendo, divisor cociente y el resto.
Oportunidad de trabajar reflexionando sobre la importancia del resto. Luego finalizadas las actividades presentadas se realiza la puesta en común.
Al no usar el algoritmo convencional los alumnos pueden encontrar otros significados. Se deja en claro con este ejercicio las relaciones que están involucradas entre Divisor, Divisor , Cociente y Resto . Este tipo de actividades realizadas en la secuencia , los alumnos tienen que decidir que hacer con el resto. No es lo mismo personas que objetos .En la primera actividad la dificultad está en que se ponen en juego y se involucran muchas operaciones.
Cuando se analiza las relaciones entre los D,d,q y resto se presentan trabajos de 2 o 3 alumnos. Se elige uno que haya tenido un error (por ejemplo una división que le sobre más en el resto que el cociente) y otros correctos. Se les pide en forma colectiva que revisen y que expliquen donde está el error.
En la segunda actividad se analiza el resto porque dependerá del resto.
¿Dónde te vas a fijar para ver si el resto es el correcto?
Luego de que entiendan puede que los niños estén en condiciones de de aplicar el algoritmo convencional. Aprender una operación no se reduce a aprender el algoritmo, ni tampoco se considera al algoritmo como conocimiento central del aprendizaje.
Con respecto a la 2da actividad se guía a los alumnos a detectar alguna particularidad entre el resto.
Se llega a la conclusión que el resto no puede ser mayor que el divisor ni el dividendo lográndose por los conocimientos que se ponen en juego al ver la tabla y las estrategias utilizadas..
Reflexión Final:
Este tipo de actividades son útiles porque implica que debemos dedicar un tiempo para que los alumnos piensen, realicen estrategias y descubran caminos de resolución. Puedan ellos mismos explicar y desarrollar argumentos. Es importante que ellos mismos puedan ver que relación existe entre esos números y la relación que existe al dividirlos.
Luego de esto, terminar la secuencia con la mirada puesta del resto, porque en la mayoría de los casos al dividir, siempre prestamos atención al cociente, (incluso cuando los docentes corregimos) y nunca ponemos en evidencia con respecto al resto. Los alumnos deben de recurrir al resto. Los alumnos deciden si hacer un viaje más o no.
A la hora de enseñar no olvidar evitar nuestras prácticas habituales, como por ejemplo hacer énfasis en el algoritmo y no en la relación entre los números.
Bibliografía:
Briggs,L,”El ordenamiento de secuencia en la instrucción”Guadalupe,BsAs,1973.
Chamorro,Mª del Carmen,(2006)”Didáctica de las matemáticas”Madrid,Ed.
Pearson.
Del Carmen,L,”El análisis y la secuenciación de los contendidos educativos, Ice Horsori, Barcelona,1996.
Parra,Ceclia(1994)”Cálculo mental en la escuela primaria” en Parra,Ceclia
Saiz,Irma(Comps)”Didáctica de las Matemáticas”
Pazos,Lliana(2005)”Vamos a hacer cuentas” en Rodríguez Rava, Beatriz
Xavier de Mello,(coms).Quehacer matemático en la
Escuela, Montevideo, Editorial Fondo Queduca.
Porfolio Educativo-Articulos Interesantes-Lecturas. Sin fines de lucro.Mision: Intercambios interculturales entre países. Objetivo investigación . "COMPARTIR TUS CONOCIMIENTOS ,ES UNA MANERA DE LOGRAR LA INMORTALIDAD"
lunes, 30 de enero de 2012
Planificar estrategias para enseñar matemática
La importancia de la presente investigación se centra en la influencia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática . Para ello se considero la situación problemática en cuanto a la planificación que realizan los docentes para impartir clase en el área de matemática, ya que las estrategias utilizadas no son las más adecuadas para trasmitir los contenidos a los alumnos.
La investigación tuvo como objetivo general determinar la importancia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática . Se aborda la misma considerando algunas definiciones y antecedentes previos a esta investigación que sirvieron de apoyo para ampliar el conocimiento sobre la temática, como es el caso de la definición de planificación sustentada por Ander Egg (citado por Quintero, 2002) donde se extrae que esta es una accióndonde se diseñan actividades para estimular al alumno en el aprendizaje, y estrategia sustentada por Chacón (1979) afirmando que es un conjunto de métodos y materiales organizados para el logro de objetivos. Metodológicamente hablando este estudio se enfocó en una investigación de tipo documental basado en un estudio descriptivo y diseño bibliográfico, enfocando fuentes de información secundaria llegando a la conclusión que la planificación influye de manera positiva ya que ayuda a mejorar la calidad de enseñanza y aprendizaje en el área de matemática al desarrollar estrategias y programas de acción para dar solución efectiva a las dificultades que se presentan a la hora de adquirir un conocimiento sólido. Se recomienda que los docentes deben reunirse periódicamente para intercambiar estrategias que han resultado efectivas en la práctica pedagógica, así como sensibilizarse con la realidad de cada comunidad.
INTRODUCCIÓN
La importancia de la presente investigación está centrada en el estudio de planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de la educación básica, como contribución al desarrollo del pensamiento lógico, ya que se consideran como procesos mentales para el razonamiento, para obtener información y tomar decisiones, así mismo la comunicación entre individuos se ve favorecida por el lenguaje matemático, pues los números, la geometría, la estadísticay las probabilidades, son conocimientos que permiten a individuos de otras culturas y de otros idiomas diferentes poderse comunicar, y la adquisición de conocimientos que se aprenden en la escuela o en el medio en que se desenvuelve el niño.
La matemática tiene por finalidad involucrar valores y desarrollar actitudes en el alumno y se requiere el uso de estrategias que permitan desarrollar las capacidades para comprender, asociar, analizar e interpretar los conocimientos adquiridos para enfrentar su entorno. Se requiere el uso de estrategias que permitan desarrollar las capacidades para percibir, analizar e interpretar los conocimientos adquiridos.
Para ello se consideró la situación problemática actual en cuanto a la planificación que realizan los docentes para impartir clase en el área de matemática, ya que las estrategias utilizadas no son las más adecuadas para transmitir los contenidos a los estudiantes.
El docente debe involucrar en su planificación valores a desarrollar en los alumnos, de forma que este pueda captarlo de manera significativa, de aquí se requiere el uso de estrategias adecuadas para su eficaz aplicación, debe existir una orientación con el objeto de facilitar y orientar el estudio donde versará su vida cotidiana, debe proveer al alumno de los métodos de razonamiento básico, requerido para plantear algunos ejercicios a resolver cuya ejecución le permitirá afianzar sus conocimientos.
El objetivo fundamental de este estudio fue determinar la importancia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de educación básica, teniendo como propósito la contribución a la formación integral del alumno en el desarrollo de habilidades y destrezas básicas para facilitar la interpretación del medio que lo rodea siendo condición necesaria para la convivencia social tanto para el docente como para el alumno, donde el docente desarrolla el autoestima de los educandos en la aplicación de estrategias de enseñanza de la matemática.
Los sustentos teóricos abordados en el presente estudio, fue la definición de planificación, estrategia y planificación de estrategias, con respecto a la planificación; según Ander Egg (citado por Quintero, 2002) señala la planificación como la acción donde se diseñan actividades educativas para estimular al alumno respecto al aprendizaje. Para Chacón (1979) estrategias es el conjunto de métodos y materiales organizados para el logro de objetivos, y para la autora de la investigación planificación de estrategias es un proceso por el cual el docente puede combinar las actividades con recursos para atraer la atención del alumno
en el desarrollo de la clase.
Con respecto a la metodología aplicada, el tipo de investigación fue documental basado en un estudio descriptivo y diseño bibliográfico.
El trabajo de investigación que se presenta está estructurado en cuatro (4) capítulos. El Capítulo I, El Problema, contempla la contextualización y delimitación, las interrogantes de la investigación, los objetivos de la investigación, la justificación y el sistema de variables con su respectiva definición conceptual y operacional.
La investigación tuvo como objetivo general determinar la importancia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática . Se aborda la misma considerando algunas definiciones y antecedentes previos a esta investigación que sirvieron de apoyo para ampliar el conocimiento sobre la temática, como es el caso de la definición de planificación sustentada por Ander Egg (citado por Quintero, 2002) donde se extrae que esta es una accióndonde se diseñan actividades para estimular al alumno en el aprendizaje, y estrategia sustentada por Chacón (1979) afirmando que es un conjunto de métodos y materiales organizados para el logro de objetivos. Metodológicamente hablando este estudio se enfocó en una investigación de tipo documental basado en un estudio descriptivo y diseño bibliográfico, enfocando fuentes de información secundaria llegando a la conclusión que la planificación influye de manera positiva ya que ayuda a mejorar la calidad de enseñanza y aprendizaje en el área de matemática al desarrollar estrategias y programas de acción para dar solución efectiva a las dificultades que se presentan a la hora de adquirir un conocimiento sólido. Se recomienda que los docentes deben reunirse periódicamente para intercambiar estrategias que han resultado efectivas en la práctica pedagógica, así como sensibilizarse con la realidad de cada comunidad.
INTRODUCCIÓN
La importancia de la presente investigación está centrada en el estudio de planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de la educación básica, como contribución al desarrollo del pensamiento lógico, ya que se consideran como procesos mentales para el razonamiento, para obtener información y tomar decisiones, así mismo la comunicación entre individuos se ve favorecida por el lenguaje matemático, pues los números, la geometría, la estadísticay las probabilidades, son conocimientos que permiten a individuos de otras culturas y de otros idiomas diferentes poderse comunicar, y la adquisición de conocimientos que se aprenden en la escuela o en el medio en que se desenvuelve el niño.
La matemática tiene por finalidad involucrar valores y desarrollar actitudes en el alumno y se requiere el uso de estrategias que permitan desarrollar las capacidades para comprender, asociar, analizar e interpretar los conocimientos adquiridos para enfrentar su entorno. Se requiere el uso de estrategias que permitan desarrollar las capacidades para percibir, analizar e interpretar los conocimientos adquiridos.
Para ello se consideró la situación problemática actual en cuanto a la planificación que realizan los docentes para impartir clase en el área de matemática, ya que las estrategias utilizadas no son las más adecuadas para transmitir los contenidos a los estudiantes.
El docente debe involucrar en su planificación valores a desarrollar en los alumnos, de forma que este pueda captarlo de manera significativa, de aquí se requiere el uso de estrategias adecuadas para su eficaz aplicación, debe existir una orientación con el objeto de facilitar y orientar el estudio donde versará su vida cotidiana, debe proveer al alumno de los métodos de razonamiento básico, requerido para plantear algunos ejercicios a resolver cuya ejecución le permitirá afianzar sus conocimientos.
El objetivo fundamental de este estudio fue determinar la importancia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de educación básica, teniendo como propósito la contribución a la formación integral del alumno en el desarrollo de habilidades y destrezas básicas para facilitar la interpretación del medio que lo rodea siendo condición necesaria para la convivencia social tanto para el docente como para el alumno, donde el docente desarrolla el autoestima de los educandos en la aplicación de estrategias de enseñanza de la matemática.
Los sustentos teóricos abordados en el presente estudio, fue la definición de planificación, estrategia y planificación de estrategias, con respecto a la planificación; según Ander Egg (citado por Quintero, 2002) señala la planificación como la acción donde se diseñan actividades educativas para estimular al alumno respecto al aprendizaje. Para Chacón (1979) estrategias es el conjunto de métodos y materiales organizados para el logro de objetivos, y para la autora de la investigación planificación de estrategias es un proceso por el cual el docente puede combinar las actividades con recursos para atraer la atención del alumno
en el desarrollo de la clase.
Con respecto a la metodología aplicada, el tipo de investigación fue documental basado en un estudio descriptivo y diseño bibliográfico.
El trabajo de investigación que se presenta está estructurado en cuatro (4) capítulos. El Capítulo I, El Problema, contempla la contextualización y delimitación, las interrogantes de la investigación, los objetivos de la investigación, la justificación y el sistema de variables con su respectiva definición conceptual y operacional.
La división
Contenido: división.
Objetivo: Trabajar la división en un contexto de números naturales con un dominio numérico hasta 140 y dividido entre 12.
Situaciones que se presentaron a los alumnos.
1.- La maestra tiene 140 cascolas de colores.
Quiere poner la misma cantidad en 12 mesas.
¿Cuántas cascolas tiene que dejar en cada mesa?
2.- La maestra tiene 140 colores. Quiere poner 12 en cada caja.
¿Cuántas necesita?
Posibles procedimientos:
Confundir los espacios de medida.
Dibujar y calcular por sumas o restas.
Dibujar y poner dentro la cantidad .
No comprender la consigna.
Necesidad de conteo uno a uno.
Utilizar repertorios y proceder por conteo.
Desarrollo de la actividad.
Se ubican los alumnos en grupos de a cinco.
Los alumnos dieron lectura de las dos propuestas y rápidamente intervinieron diciendo que era un problema. Preguntaron por cual empezar.
Docente: Se les aclaró que podían empezar por cualquiera de los dos.
Se observa que en la totalidad empezaron por el primero.
Un niño preguntó si había que restar o sumar.
Docente:- ¿Por qué me dices eso?
- Contestó : Porque tiene números.
Se intervino preguntándoles al resto del grupo si estaban de acuerdo y por qué? .
Varios niños contestaron:
Alumno -Es un problema porque tiene el signo de pregunta ¿?
Docente: (escribo en el pizarrón una pregunta) y todos los niños la leen :
“¿Cómo te llamas?” - y pregunto al grupo si era un problema.
Alumnos -Todos dijeron que no.
Docente: ¿Por qué no?
Alumno: Ahí no tengo que usar la cabeza para pensar. Ya sé como me llamo.
Docente: pregunto.- :
-¿Qué tiene este trabajo para que podamos decir que es un problema.
Alumno- Tiene números.
Docente- Bien y qué mas me pueden decir?
Alumno- Hay una pregunta que tengo que responder.
Docente: -Piensen algo más para afirmar que es un problema.
Alumno- Hay que “ hacer algo”?
Docente: ¿Qué hay que hacer? Dame una razón de por qué debes hacer algo.
Alumna- Hay que repartir las cascolas .”Me pide” que reparta. (Hace referencia a una de las situaciones presentadas).
Alumno- Y en el segundo problema hay que “poner” en cajas.
Docente:- Entonces…¿ cómo pueden resolverlos?
Alumno: repartiendo .Hacemos una división.
Un alumno pasa y escribe el algoritmo en el pizarrón.
Luego de unos instantes varios alumnos dijeron que no sabían dividir aunque habían planteado por escrito el algoritmo: 140 12 en el pizarrón.
Intervención docente: (sobre la lectura del enunciado).
Se explica a los alumnos que el enunciado de un problema, utilizado cuando trabajamos en el área de matemática y que tiene características propias.
Hay que comprenderlo muy bien para realizar la tarea que debe resolverse.
Hay que leer con mucha atención.
Comprenderlo.
Seleccionar los datos necesarios.
Y que la solución dependerá de las preguntas. Éstas nos guían para encontrar estrategias de búsqueda de la solución.
Hay tantas estrategias como niños hay en clase.
Alumno: ¿Entonces vamos a tener muchos resultados?
Docente: NO, debemos llegar a un mismo resultado. Las estrategias de las que hablo son los caminos que cada uno de ustedes utiliza para llegar al resultado.
Habían confundido estrategias con resultado.
Conocimientos puestos en juego en esta instancia oral de presentación colectiva de la actividad:
Conocían el algoritmo, pero no sabían resolverlo.
Nombraron palabras : dividendo, divisor y cociente y resto.
Tenían vocabulario específico de la asignatura.
No sabían el mecanismo.
-Docente: Pueden “pensar cualquier manera de resolverlo”.
Acá no hay reglas. Es como un juego.
Análisis de las diferentes formas para resolver la propuesta .
Detalle de algunas estrategias realizadas por los alumnos:
Caso 1
Conocimientos puestos en juego:
Este ejemplo y otros tantos que se observaron los alumnos lo resuelven en su mayoría iban contando pero lo interesante era que las iban repartiendo en las 12 mesas.
Muchos trabajos como este que se ha seleccionado ,se vieron en esta clase. Luego de hacer las rayitas, las encerraban . En esta actividad de acción este niño resuelve y puede dar un resultado.
Dibuja y agrupa
Quería hacerlo en forma equitativa. No quería que sobrara ni que le faltara.
Tiende a buscar una división exacta y exhaustiva.
Se preocupó porque en una mesa iba a ver ocho y dijo que faltaban para llegar a estar completa como las demás, pero que si lo hacía se pasaba del 140.
Tenía muy claro uno de los datos del enunciado.
Se preocupó por el resto. Dijo que le sobraban.¿Que podía hacer con el resto?
Docente: Vuelve a leer el enunciado. Fíjate que pide.
Alumno: Que reparta.
Docente: ¿Y?
Alumno: Es cierto, no importa que sobren. Voy sólo a repartir.
En al segunda propuesta se observa que dibuja, representa a los 12 colores con rayitas, pero a cada caja le va poniendo un 12 en cada una y arriba le agrega una serie numérica de 12 en 12. Sumaba mentalmente (me lo dijo) para no pasarse.
Caso 2
Conocimientos puestos en juego:
Esta niña , claramente dijo que sobran 8.
Se observó su forma de trabajo. Primero dibujó las 12 mesas(Dibujó cuadrados vacíos al principio). Luego fue poniendo 10 en cada una. (repartió ).
Como le sobraban muchas volvió a contar y borró y puso el 11. Ella niña estimó. Luego rectifica , y pone 11.
Luego contó de 1 en 1 para intentar poner el 12 pero dijo “ que se pasaba del 140”
Docente:¿Y en el segundo trabajo?
Niña: Es el mismo que el anterior, lo que en vez de ser cascolas la respuesta son 11 cajas. -por eso no dibujé nada.
Docente:¿Pero si era 140 repartido en 12? ¿Da diferente entonces?
Niña: -Da lo mismo de número pero diferente las “cosas”
¿Entonces que se reparte en cada caso( Intervención docente)
Niña: En el primero se repartían cascolas en 12 mesas.
En el segundo teníamos que poner 12 lápices en cada caja.
Maneja el repertorio porque reparte contando de 11 en 11.
Se observa la forma en que ubica las mesas de (6 en 6 ).Comentó que le “quedaba más cómodo así” “seis arriba y seis abajo” son 12.
Pone en juego conocimiento de suma
Caso 3
Conocimientos puestos en juego:
Este alumno realiza su actividad mediante restas sucesivas.
No tuvo el control de sus restas y su energía fue decayendo hasta decir “ estoy cansado•
Docente:- ¿Por qué restaste de a 12?-pregunto para ver que procedimientos empleó y que conocimientos pone en juego.
Alumno:- Iba poniendo 12 en cada mesa.
Docente: ¿Hasta cuando pensabas restarle 12?
Alumno: Así cada vez me iba quedando con menos hasta llegar a 0 .
Este alumno maneja una de las propiedades de la división ( exacta y exhautiva)
Docente: Lee nuevamente el enunciado. Dice repartir. No dice restar.
Alumno: Igual estoy repartiendo.
Sabía que al quitar siempre 12 afirmó estaba repartiendo igual para todos.
Utilizó la resta para resolver. Manejó conocimientos que ya sabe, que ya domina.
No llegó a realizar el segundo trabajo.
Intervención docente: Se solicitó al alumno que buscara otra forma para realizarlo.
Se le sugirió que pensara al menos que haría y lo dijera verbalmente.
Alumno: Tendría que dibujar cajas y pondría dentro los 12 colores
Docente:: ¿Puedes representar el número de cajas que se utilizarían?
Alumno: Si iría contando 12 + 12+ 12……. hasta llegar a poner todos los colores.
Tampoco confundió los espacios de medida. Habló de colores y cajas de colores.
Agrupó de a 12 colores y sabía que lo que dibujaría serían cajas. Si bien no lo realizó al cálculo por escrito, el alumno realiza un cálculo mental y relaciona a la división con otra operación, en este caso : la suma.
Según Bergnaud identifica varios campos conceptuales, entre ellos el de las estructuras aditivas y multiplicativas.
Entre las primeras se ubica dos de las operaciones básicas: la suma y la resta.(1)
(1)El Quehacer Matemático e la escuela. Fondo QUEDUCA.
Caso 4
Conocimientos puestos en juego:
En la primer propuesta esta alumna tiene avances y no necesitó de dibujos
( representaciones gráficas).Usa la suma y el cálculo como repertorio pero intenta repartir todas las 140 y lo hace primeramente entre 10.
Si bien el resultado no era el esperado, cuando le volví a preguntar
Docente:¿Cuántas cascolas en cada mesa? Lee de nuevo el enunciado y dime donde está la cantidad de cascolas que hay que repartir y la cantidad de mesas.
Alumna: ¡Ahhh me parece que no da justo!.Tengo que sumar con un número más grande.Lo intenta nuevamente. Llega hasta 132 y a partir de ahí sigue de uno en uno, ve que son 8 y me avisa que le sobran 8.
Docente: ¿Por qué el 12 y no el11? Como hiciste con el 10?
Alumna: Por que dice 12 acá. Y señala la letra del enunciado.
Docente?-¿Cómo te diste cuenta de la cantidad de mesas?
Alumno: Porque hay 11 doces
Docente:¿Qué hacemos? Porque tu dibujaste mas.
Alumno: Si pero volví a hacerlo y le saqué un 12 pero me sobran 8 ahora,
lo dejo así. No alcanza para otra mesa.
Me interesó como la alumna en la segunda propuesta iba poniendo puntitos al lado del 12 que sabía que eran 12 lápices para cada caja.
Docente: ¿Qué significan esos puntitos?
Alumna: Son cuantas cajas que voy a usar para poner los lápices.
Docente: ¿Explicame mejor cómo pensaste eso?
Alumna : toma el lápiz y los numeró poniendo 1,2,3 ….hasta llegar al 11. Dice que así sabía cuantas eran: Eran 11 dijo. (Lo hace con seguridad) Va poniendo según lo que sabe en cada puntito.
Utiliza el conteo, la suma, la proporcionalidad, porque 12 era 1, 12 era un 2 y así sucesivamente.
Luego en el espacio superior de la hoja comienza a dibujar las cajas. Reparte a todas por igual.
Docente- ¿Y las que sobran?
Alumna:- Sobran porque no alcanzan .
Docente: ¿explícame que es lo que no alcanza?
Alumna: Las que me van sobrando “ no me da” para “ armar “ otra caja de colores.
Esta alumna supo repartir siguiendo una de las propiedades de la división: dividir con equidad. Por eso agrupó de a 12
Análisis de cada categoría teniendo en cuenta los conocimientos puestos en juego en el reparto.
Caso Procedimiento utilizado Conocimientos puestos en juego
Intervención docente
1
Conteo de uno en uno hasta llegar al 140.
Cuenta mentalmente. El niño tenía el sentido de lo que significa repartir.
Repartir equitativamente encerrando en grupos de a 12.Lee y recita en orden la serie primeramente.
Cuenta hasta 12 y cierra con un línea.
Leer nuevamente el enunciado para ver que pide. Análisis del el resto.
2
Utiliza gráfico y números naturales. Primero realizó un cálculo y retoma nuevamente.
Conteo de 1 en 1 Manejo de las incógnitas.
Estimación.
Uso de la suma. Se trabaja con los espacios de medida.
¿pero si era 140 repartido entre 12?
Y en el 2º caso
140 para poner la misma cantidad en cajas)
3
Restas Sentido de repartir mediante la resta sucesivas hasta llegar a no quedarse con nada. ¿hasta cuándo pensas restarle 12?
¿Dice repartir no restar?
En la 2ª propuesta resolicita que por lo menos explique y lo diga verbalmente.
4
No utiliza esquemas ni gráficos.
Utiliza repertorios numéricos y conteo.
Al llegar al 132 sigue de 1 en 1 su conteo. Intento de realizar divisón exhaustiva.
Descubre que los nº del 132 al 140 sobran.
Enel 2º trabajo uso de la suma .
Usa el conteo y la proporcionalidad 12-1, 12-2 etc. Propiedad de la división( equidad)
Releer el enunciado por el 1er intento que hace.
¿Cuántas cascolas por mesas,lee elenunciado?
El resto?
En la 2ª actividad se repregunta ¿Qué significan esos puntitos? Para ver que espacios de medida dominaba la niña
Puesta en común:
Luego de finalizada la tarea, los alumnos participan y cuentas las formas utilizadas o los mecanismos.
Si bien al principio al preguntarles el maestro de clase ¿pudieron resolverlo?
La mayoría del grupo dijo que sí.
En realidad no hubo dificultad porque todos se manejaron bien al comprender el enunciado.
Establecieron correspondencia entre los números de las cuentas que hacían y los datos aportados en el enunciado.
Cuando uno planteaba su estrategia, otros niños decían que habían hecho otra cosa y la explicaban a su manera. Como docente no intervine ni a favor ni en contra a pesar de que cada alumno me exigía la aprobación de su trabajo personal.
Lo bueno fue ver que todos prestaban atención a la estrategia usada por el compañero. Si bien dudaban de su compañeros, todos iban justo al resultado al que habían llegado.
Docente: Les expliqué que todas las formas servían si sabían que querían hacer.
Alumno: Teníamos que repartir. Todos entendieron el significado.
Lo bueno que ellos mismos supieron llegar a la misma conclusión: había que repartir, dividir .Pero cada le dio un sentido diferente.
En esta tarea se utilizaron dos situaciones, una de reparto y otra de agrupación dentro de un contexto de proporcionalidad. Por eso se pusieron dos actividades. Porque el contexto de proporción cambia el significado.
En el 1º había que repartir y en el 2º agrupar de a 12 en cada caja.
Docente: pero si había que dividir ¿Por qué ustedes usaron sumas y restas?
Alumno: Para contar bien y dar igual a cada mesa.
Alumno: o cajas.
Se observa que manejan bien los datos que entraron en juego en el ejercicio.
Según la propuesta estaban en juego 2 espacios de medida. A pesar de que contestaron algunos que las 2 situaciones eran iguales se explicó:
Docente: en la primera (la incógnita) “,lo que se pretendía descubrir” ,era la cantidad de mesas y en la segunda eran cajas.
El docente pregunta- ¿ qué tenemos que tener en cuenta de este trabajo?
Una intervención de formulación para que el niño argumente.
Alumno: los datos del problemas.
Docente: ¿Puedes nombrarlos para todos?
Alumno: 140 cascolas,12 mesas y la cantidad que vamos a poner en cada mesa.
Docente: ¿Y en elsegundo caso?
Alumna: 140 colores y cuántas cajas .
Docente: Vuelvan a leer y digan ¿que otro dato importante necesito?
Alumno: La cantidad de colores que vamos a poner en cada caja.
Docente ¿ Qué solución encontraron?
Alumno: Yo lo hice como pude porque el número era muy alto.
-¿Qué significa muy alto?
-Que es grande, tiene tres cifras.
Alumno: Además eso todavía, repartirlo entre doce me costó más.
Docente: Pero, que operación podría hacer que ustedes conocen?
Alumno: una división., pero no sé hacerla porque nunca dividí entre 12.
Alumno: Además esa cantidad no hay en nuestra clase.
Se utilizó este campo numéricode 140 para que las situaciones fueran ficticias y no reales para que el niño tuviera que pensar.
Docente:-¿Puede resolverse con un algoritmo?
Alumna:- Si pero no la sabemos hacer.¿podés hacerla en el pizarrón?
Docente:- Si, y realicé el algoritmo convencional.
Alumno: A vos te llevó menos tiempo que a nosotros, la hiciste en cinco minutos.( sienten la necesidad de aprender el algoritmo) recién están dándose cuenta del para qué usarlos.
Docente: les prometo que en los próximos días los ayudo.
Pero…. Que pasó con los resultados? A todos nos sobró 8 y en el segundo daba 11 cajas.
Alumna: Todos tenemos el mismo resultado.
Docente:¿Por qué no pusieron respuesta entonces si sabían el resultado? Había una pregunta y tenían que responderla. Siempre que exista una pregunta , hay que responderla. Ustedes ponen por escrito 8 y yo pregunto ¿8 que?, ponen 11 y yo pregunto ¿11 qué?.Si bien todos responden a coro y sabían de qué estábamos hablando nadie escribió correctamente la respuesta. Lo dieron por sentado que se entendería.
En esta puesta en común es de alguna manera complementaria de la devolución.
Dice Brousseau que es necesario reconocer en estos procesos los roles principales del maestro.
Los comportamientos o producciones de los alumnos suponen establecer relaciones con el saber cultural.
Debe sacarse conclusiones a partir de lo producido por los niños y profundizarlos.
Bibliografía:
Pazos,Liliana(2005),”Vamos a hacer cuentas” en Rodríguez Rava,Beatriz,Xavier
de Mello,Alicia(Comps)El Quehacer Matemático en la Escuela,Fondo Queduca,Montevideo.
Martínez,P,Moreno,E ,(1996),”Aprendiendo a dividir” en Revista Básica”Nº 11.
Objetivo: Trabajar la división en un contexto de números naturales con un dominio numérico hasta 140 y dividido entre 12.
Situaciones que se presentaron a los alumnos.
1.- La maestra tiene 140 cascolas de colores.
Quiere poner la misma cantidad en 12 mesas.
¿Cuántas cascolas tiene que dejar en cada mesa?
2.- La maestra tiene 140 colores. Quiere poner 12 en cada caja.
¿Cuántas necesita?
Posibles procedimientos:
Confundir los espacios de medida.
Dibujar y calcular por sumas o restas.
Dibujar y poner dentro la cantidad .
No comprender la consigna.
Necesidad de conteo uno a uno.
Utilizar repertorios y proceder por conteo.
Desarrollo de la actividad.
Se ubican los alumnos en grupos de a cinco.
Los alumnos dieron lectura de las dos propuestas y rápidamente intervinieron diciendo que era un problema. Preguntaron por cual empezar.
Docente: Se les aclaró que podían empezar por cualquiera de los dos.
Se observa que en la totalidad empezaron por el primero.
Un niño preguntó si había que restar o sumar.
Docente:- ¿Por qué me dices eso?
- Contestó : Porque tiene números.
Se intervino preguntándoles al resto del grupo si estaban de acuerdo y por qué? .
Varios niños contestaron:
Alumno -Es un problema porque tiene el signo de pregunta ¿?
Docente: (escribo en el pizarrón una pregunta) y todos los niños la leen :
“¿Cómo te llamas?” - y pregunto al grupo si era un problema.
Alumnos -Todos dijeron que no.
Docente: ¿Por qué no?
Alumno: Ahí no tengo que usar la cabeza para pensar. Ya sé como me llamo.
Docente: pregunto.- :
-¿Qué tiene este trabajo para que podamos decir que es un problema.
Alumno- Tiene números.
Docente- Bien y qué mas me pueden decir?
Alumno- Hay una pregunta que tengo que responder.
Docente: -Piensen algo más para afirmar que es un problema.
Alumno- Hay que “ hacer algo”?
Docente: ¿Qué hay que hacer? Dame una razón de por qué debes hacer algo.
Alumna- Hay que repartir las cascolas .”Me pide” que reparta. (Hace referencia a una de las situaciones presentadas).
Alumno- Y en el segundo problema hay que “poner” en cajas.
Docente:- Entonces…¿ cómo pueden resolverlos?
Alumno: repartiendo .Hacemos una división.
Un alumno pasa y escribe el algoritmo en el pizarrón.
Luego de unos instantes varios alumnos dijeron que no sabían dividir aunque habían planteado por escrito el algoritmo: 140 12 en el pizarrón.
Intervención docente: (sobre la lectura del enunciado).
Se explica a los alumnos que el enunciado de un problema, utilizado cuando trabajamos en el área de matemática y que tiene características propias.
Hay que comprenderlo muy bien para realizar la tarea que debe resolverse.
Hay que leer con mucha atención.
Comprenderlo.
Seleccionar los datos necesarios.
Y que la solución dependerá de las preguntas. Éstas nos guían para encontrar estrategias de búsqueda de la solución.
Hay tantas estrategias como niños hay en clase.
Alumno: ¿Entonces vamos a tener muchos resultados?
Docente: NO, debemos llegar a un mismo resultado. Las estrategias de las que hablo son los caminos que cada uno de ustedes utiliza para llegar al resultado.
Habían confundido estrategias con resultado.
Conocimientos puestos en juego en esta instancia oral de presentación colectiva de la actividad:
Conocían el algoritmo, pero no sabían resolverlo.
Nombraron palabras : dividendo, divisor y cociente y resto.
Tenían vocabulario específico de la asignatura.
No sabían el mecanismo.
-Docente: Pueden “pensar cualquier manera de resolverlo”.
Acá no hay reglas. Es como un juego.
Análisis de las diferentes formas para resolver la propuesta .
Detalle de algunas estrategias realizadas por los alumnos:
Caso 1
Conocimientos puestos en juego:
Este ejemplo y otros tantos que se observaron los alumnos lo resuelven en su mayoría iban contando pero lo interesante era que las iban repartiendo en las 12 mesas.
Muchos trabajos como este que se ha seleccionado ,se vieron en esta clase. Luego de hacer las rayitas, las encerraban . En esta actividad de acción este niño resuelve y puede dar un resultado.
Dibuja y agrupa
Quería hacerlo en forma equitativa. No quería que sobrara ni que le faltara.
Tiende a buscar una división exacta y exhaustiva.
Se preocupó porque en una mesa iba a ver ocho y dijo que faltaban para llegar a estar completa como las demás, pero que si lo hacía se pasaba del 140.
Tenía muy claro uno de los datos del enunciado.
Se preocupó por el resto. Dijo que le sobraban.¿Que podía hacer con el resto?
Docente: Vuelve a leer el enunciado. Fíjate que pide.
Alumno: Que reparta.
Docente: ¿Y?
Alumno: Es cierto, no importa que sobren. Voy sólo a repartir.
En al segunda propuesta se observa que dibuja, representa a los 12 colores con rayitas, pero a cada caja le va poniendo un 12 en cada una y arriba le agrega una serie numérica de 12 en 12. Sumaba mentalmente (me lo dijo) para no pasarse.
Caso 2
Conocimientos puestos en juego:
Esta niña , claramente dijo que sobran 8.
Se observó su forma de trabajo. Primero dibujó las 12 mesas(Dibujó cuadrados vacíos al principio). Luego fue poniendo 10 en cada una. (repartió ).
Como le sobraban muchas volvió a contar y borró y puso el 11. Ella niña estimó. Luego rectifica , y pone 11.
Luego contó de 1 en 1 para intentar poner el 12 pero dijo “ que se pasaba del 140”
Docente:¿Y en el segundo trabajo?
Niña: Es el mismo que el anterior, lo que en vez de ser cascolas la respuesta son 11 cajas. -por eso no dibujé nada.
Docente:¿Pero si era 140 repartido en 12? ¿Da diferente entonces?
Niña: -Da lo mismo de número pero diferente las “cosas”
¿Entonces que se reparte en cada caso( Intervención docente)
Niña: En el primero se repartían cascolas en 12 mesas.
En el segundo teníamos que poner 12 lápices en cada caja.
Maneja el repertorio porque reparte contando de 11 en 11.
Se observa la forma en que ubica las mesas de (6 en 6 ).Comentó que le “quedaba más cómodo así” “seis arriba y seis abajo” son 12.
Pone en juego conocimiento de suma
Caso 3
Conocimientos puestos en juego:
Este alumno realiza su actividad mediante restas sucesivas.
No tuvo el control de sus restas y su energía fue decayendo hasta decir “ estoy cansado•
Docente:- ¿Por qué restaste de a 12?-pregunto para ver que procedimientos empleó y que conocimientos pone en juego.
Alumno:- Iba poniendo 12 en cada mesa.
Docente: ¿Hasta cuando pensabas restarle 12?
Alumno: Así cada vez me iba quedando con menos hasta llegar a 0 .
Este alumno maneja una de las propiedades de la división ( exacta y exhautiva)
Docente: Lee nuevamente el enunciado. Dice repartir. No dice restar.
Alumno: Igual estoy repartiendo.
Sabía que al quitar siempre 12 afirmó estaba repartiendo igual para todos.
Utilizó la resta para resolver. Manejó conocimientos que ya sabe, que ya domina.
No llegó a realizar el segundo trabajo.
Intervención docente: Se solicitó al alumno que buscara otra forma para realizarlo.
Se le sugirió que pensara al menos que haría y lo dijera verbalmente.
Alumno: Tendría que dibujar cajas y pondría dentro los 12 colores
Docente:: ¿Puedes representar el número de cajas que se utilizarían?
Alumno: Si iría contando 12 + 12+ 12……. hasta llegar a poner todos los colores.
Tampoco confundió los espacios de medida. Habló de colores y cajas de colores.
Agrupó de a 12 colores y sabía que lo que dibujaría serían cajas. Si bien no lo realizó al cálculo por escrito, el alumno realiza un cálculo mental y relaciona a la división con otra operación, en este caso : la suma.
Según Bergnaud identifica varios campos conceptuales, entre ellos el de las estructuras aditivas y multiplicativas.
Entre las primeras se ubica dos de las operaciones básicas: la suma y la resta.(1)
(1)El Quehacer Matemático e la escuela. Fondo QUEDUCA.
Caso 4
Conocimientos puestos en juego:
En la primer propuesta esta alumna tiene avances y no necesitó de dibujos
( representaciones gráficas).Usa la suma y el cálculo como repertorio pero intenta repartir todas las 140 y lo hace primeramente entre 10.
Si bien el resultado no era el esperado, cuando le volví a preguntar
Docente:¿Cuántas cascolas en cada mesa? Lee de nuevo el enunciado y dime donde está la cantidad de cascolas que hay que repartir y la cantidad de mesas.
Alumna: ¡Ahhh me parece que no da justo!.Tengo que sumar con un número más grande.Lo intenta nuevamente. Llega hasta 132 y a partir de ahí sigue de uno en uno, ve que son 8 y me avisa que le sobran 8.
Docente: ¿Por qué el 12 y no el11? Como hiciste con el 10?
Alumna: Por que dice 12 acá. Y señala la letra del enunciado.
Docente?-¿Cómo te diste cuenta de la cantidad de mesas?
Alumno: Porque hay 11 doces
Docente:¿Qué hacemos? Porque tu dibujaste mas.
Alumno: Si pero volví a hacerlo y le saqué un 12 pero me sobran 8 ahora,
lo dejo así. No alcanza para otra mesa.
Me interesó como la alumna en la segunda propuesta iba poniendo puntitos al lado del 12 que sabía que eran 12 lápices para cada caja.
Docente: ¿Qué significan esos puntitos?
Alumna: Son cuantas cajas que voy a usar para poner los lápices.
Docente: ¿Explicame mejor cómo pensaste eso?
Alumna : toma el lápiz y los numeró poniendo 1,2,3 ….hasta llegar al 11. Dice que así sabía cuantas eran: Eran 11 dijo. (Lo hace con seguridad) Va poniendo según lo que sabe en cada puntito.
Utiliza el conteo, la suma, la proporcionalidad, porque 12 era 1, 12 era un 2 y así sucesivamente.
Luego en el espacio superior de la hoja comienza a dibujar las cajas. Reparte a todas por igual.
Docente- ¿Y las que sobran?
Alumna:- Sobran porque no alcanzan .
Docente: ¿explícame que es lo que no alcanza?
Alumna: Las que me van sobrando “ no me da” para “ armar “ otra caja de colores.
Esta alumna supo repartir siguiendo una de las propiedades de la división: dividir con equidad. Por eso agrupó de a 12
Análisis de cada categoría teniendo en cuenta los conocimientos puestos en juego en el reparto.
Caso Procedimiento utilizado Conocimientos puestos en juego
Intervención docente
1
Conteo de uno en uno hasta llegar al 140.
Cuenta mentalmente. El niño tenía el sentido de lo que significa repartir.
Repartir equitativamente encerrando en grupos de a 12.Lee y recita en orden la serie primeramente.
Cuenta hasta 12 y cierra con un línea.
Leer nuevamente el enunciado para ver que pide. Análisis del el resto.
2
Utiliza gráfico y números naturales. Primero realizó un cálculo y retoma nuevamente.
Conteo de 1 en 1 Manejo de las incógnitas.
Estimación.
Uso de la suma. Se trabaja con los espacios de medida.
¿pero si era 140 repartido entre 12?
Y en el 2º caso
140 para poner la misma cantidad en cajas)
3
Restas Sentido de repartir mediante la resta sucesivas hasta llegar a no quedarse con nada. ¿hasta cuándo pensas restarle 12?
¿Dice repartir no restar?
En la 2ª propuesta resolicita que por lo menos explique y lo diga verbalmente.
4
No utiliza esquemas ni gráficos.
Utiliza repertorios numéricos y conteo.
Al llegar al 132 sigue de 1 en 1 su conteo. Intento de realizar divisón exhaustiva.
Descubre que los nº del 132 al 140 sobran.
Enel 2º trabajo uso de la suma .
Usa el conteo y la proporcionalidad 12-1, 12-2 etc. Propiedad de la división( equidad)
Releer el enunciado por el 1er intento que hace.
¿Cuántas cascolas por mesas,lee elenunciado?
El resto?
En la 2ª actividad se repregunta ¿Qué significan esos puntitos? Para ver que espacios de medida dominaba la niña
Puesta en común:
Luego de finalizada la tarea, los alumnos participan y cuentas las formas utilizadas o los mecanismos.
Si bien al principio al preguntarles el maestro de clase ¿pudieron resolverlo?
La mayoría del grupo dijo que sí.
En realidad no hubo dificultad porque todos se manejaron bien al comprender el enunciado.
Establecieron correspondencia entre los números de las cuentas que hacían y los datos aportados en el enunciado.
Cuando uno planteaba su estrategia, otros niños decían que habían hecho otra cosa y la explicaban a su manera. Como docente no intervine ni a favor ni en contra a pesar de que cada alumno me exigía la aprobación de su trabajo personal.
Lo bueno fue ver que todos prestaban atención a la estrategia usada por el compañero. Si bien dudaban de su compañeros, todos iban justo al resultado al que habían llegado.
Docente: Les expliqué que todas las formas servían si sabían que querían hacer.
Alumno: Teníamos que repartir. Todos entendieron el significado.
Lo bueno que ellos mismos supieron llegar a la misma conclusión: había que repartir, dividir .Pero cada le dio un sentido diferente.
En esta tarea se utilizaron dos situaciones, una de reparto y otra de agrupación dentro de un contexto de proporcionalidad. Por eso se pusieron dos actividades. Porque el contexto de proporción cambia el significado.
En el 1º había que repartir y en el 2º agrupar de a 12 en cada caja.
Docente: pero si había que dividir ¿Por qué ustedes usaron sumas y restas?
Alumno: Para contar bien y dar igual a cada mesa.
Alumno: o cajas.
Se observa que manejan bien los datos que entraron en juego en el ejercicio.
Según la propuesta estaban en juego 2 espacios de medida. A pesar de que contestaron algunos que las 2 situaciones eran iguales se explicó:
Docente: en la primera (la incógnita) “,lo que se pretendía descubrir” ,era la cantidad de mesas y en la segunda eran cajas.
El docente pregunta- ¿ qué tenemos que tener en cuenta de este trabajo?
Una intervención de formulación para que el niño argumente.
Alumno: los datos del problemas.
Docente: ¿Puedes nombrarlos para todos?
Alumno: 140 cascolas,12 mesas y la cantidad que vamos a poner en cada mesa.
Docente: ¿Y en elsegundo caso?
Alumna: 140 colores y cuántas cajas .
Docente: Vuelvan a leer y digan ¿que otro dato importante necesito?
Alumno: La cantidad de colores que vamos a poner en cada caja.
Docente ¿ Qué solución encontraron?
Alumno: Yo lo hice como pude porque el número era muy alto.
-¿Qué significa muy alto?
-Que es grande, tiene tres cifras.
Alumno: Además eso todavía, repartirlo entre doce me costó más.
Docente: Pero, que operación podría hacer que ustedes conocen?
Alumno: una división., pero no sé hacerla porque nunca dividí entre 12.
Alumno: Además esa cantidad no hay en nuestra clase.
Se utilizó este campo numéricode 140 para que las situaciones fueran ficticias y no reales para que el niño tuviera que pensar.
Docente:-¿Puede resolverse con un algoritmo?
Alumna:- Si pero no la sabemos hacer.¿podés hacerla en el pizarrón?
Docente:- Si, y realicé el algoritmo convencional.
Alumno: A vos te llevó menos tiempo que a nosotros, la hiciste en cinco minutos.( sienten la necesidad de aprender el algoritmo) recién están dándose cuenta del para qué usarlos.
Docente: les prometo que en los próximos días los ayudo.
Pero…. Que pasó con los resultados? A todos nos sobró 8 y en el segundo daba 11 cajas.
Alumna: Todos tenemos el mismo resultado.
Docente:¿Por qué no pusieron respuesta entonces si sabían el resultado? Había una pregunta y tenían que responderla. Siempre que exista una pregunta , hay que responderla. Ustedes ponen por escrito 8 y yo pregunto ¿8 que?, ponen 11 y yo pregunto ¿11 qué?.Si bien todos responden a coro y sabían de qué estábamos hablando nadie escribió correctamente la respuesta. Lo dieron por sentado que se entendería.
En esta puesta en común es de alguna manera complementaria de la devolución.
Dice Brousseau que es necesario reconocer en estos procesos los roles principales del maestro.
Los comportamientos o producciones de los alumnos suponen establecer relaciones con el saber cultural.
Debe sacarse conclusiones a partir de lo producido por los niños y profundizarlos.
Bibliografía:
Pazos,Liliana(2005),”Vamos a hacer cuentas” en Rodríguez Rava,Beatriz,Xavier
de Mello,Alicia(Comps)El Quehacer Matemático en la Escuela,Fondo Queduca,Montevideo.
Martínez,P,Moreno,E ,(1996),”Aprendiendo a dividir” en Revista Básica”Nº 11.
Matemática: el cálculo aproximado
Objetivo: Trabajar estrategias de cálculo aproximado
Variables:
• Limitación del tiempo para la realización de la consigna.
• Argumentar en forma oral y por escrito sus procedimientos .
• Confirmar resultados con calculadora y en caso de error, corregir y modificar el resultado.
• Número intentos.
• No usar algoritmos.
Posibles procedimientos
Realización correcta de la consiga.
No realización de la consigna.
Con apoyo e intervención del docente con alumnos que no pudieron realizar la tarea.
Realizar conteo y sobre conteo.
Uso de material concreto o gráfico
Uso de mecanismos de cuenta.
Uso de calculadora.
El docente distribuye a cada alumno una tarea para realizar en forma individual. Lee y explica la consigna. Establece las reglas del trabajo, solicitándoles que sea una respuesta aproximada, un cálculo mental.
En caso de no poder luego de cumplido el horario se deja que utilicen algoritmos y usar la calculadora.
Nombre: ……………………………….Clase:……….Escuela ..................
Consigna:
Para cada cuenta señala con un X la columna donde piensas que estará el resultado.
Menores que 25 Entre 25 y 35 Mayores que 35
12+ 30=
15+ 9=
20+21=
20-12=
45+9=
41-10=
La situación presentada a los alumnos se plantea dentro del campo de la adición, la sustracción , la numeración y el cálculo por aproximación.
No se considera necesario modificar la propuesta.
Los alumnos de este nivel comprendieron en su mayoría lo que se plantea y utilizaron sus propios recursos para aproximarse a la solución.
Se explicó previamente que en lo posible no usaran algoritmos o “ cuentas”.
Registro de algunas respuestas de los alumnos sobre los procedimientos empelados por los alumnos.
-Sol- “Qué fácil, porque 12 + 30 si digo yo 30 y me regalan 12 es entonces
10+30 y + 2 me da 42.”
-Aillén- “Usé los dedos y conté”
-Pilar-“Yo pensé con la mente
-Camila-” pensé con la mente y luego hice 2+0 y 3+1 me da 42
-Diego-“Para hacer la prueba use los dedos hice la cruz en el medio porque el
número entra entre 25 y 35”
Luciano:-“El 15 lo puse en la mente y le fui sumando de a 1”
Como dice Farol (1985) “los niños utilizan un procedimiento espontáneo para resolución de adiciones simples: procedimiento que se apoya en el conteo y, en particular m en elincremento de uno a uno.
Agustina-“Puse el 12 arriba del 30 y pensé el dos + cero y el uno con el 3”
-Delfina-“Yo lo hice con los dedos ,empecé con el 12 y le fui sumando hasta 30
y le agregué 2”.
-Federico-“ Usé los dedos, conté de a uno empezando por el doce y seguí de
uno en uno”.
Martina-“Yo lo hice mentalmente y con los dedo las cuentas: 0+2 me da 2 y
3 + 1 =4”
Le pregunté si le había resultado fácil o difíci ly me dijo que no, porque ella sabía que primero se suman las unidades y luego las decenas y “ ya está”.
Gonzalo-“Sume y puse las X en el lugar que correspondía. En la primera sume
30 + 10 + 2 y me dio 32 y seguí haciendo lo mismo con las otras
sumas”. Este niño usó la técnica de la descomposición.
Florencia- Usé los dedos y la cabeza.Por ejemplo 12+30. Si 3 mas 1 es 4 4e
cuarenta mas 2 me da 42”
Lucio-“Conté con mis dedos en voz baja. Empecé por el numero más alto y
después por el mas bajo (30 + 12)”
Este niño no me supo explicar el por qué de la elección del nº mas alto y luego el mas pequeño.
Catalina_”Usé dedos y lápices para contar .Por ejemplo la de 15+9 puse mis
quince lápices y seguí con 9 dedos y me dio 24.
Alumnos que no supieron escribir argumentando su trabajo y tampoco lo pudieron realizar en forma oral:
Elías, Gastón, Cinthia ,Belen, Erika y Karina
A todos ellos luego del trabajo grupal se les ofreció chapitas para ver si con material concreto podrían resolverlo.
Tres alumnos no pudieron tampoco con eso. Se cansaron y desistieron.
Dos de los cinco si agruparon y intentaron resolverlo aunque lo hicieron con errores.
Al primer intento Cinthia escribe en el pizarrón rayitas. //// y // y me contesta que el resultado es 42.
Al siguiente intento Gastón resuelve ir poniendo los resultados de los algoritmos y así comienza a ubicar las X en las casillas correspondientes.
Tratamiento del error.
A la hora de trabajar el error se tienen en cuenta todas las respuestas y son escuchadas todas las estrategias.
Se intenta buscar otros caminos y otros posibles resultados.
A todos se les solicito que verbalizaran los procesos internos pàra saber donde puntualizar y corregir.
Intervención docente con estos alumnos :
Modificación de la consigna porque reiteran:- ” no se que hacer”.
Resugerí si quería usar losdedos. Lo pensó un ratoperome dijo que sus dedos nole alcanzaban.
Con Erika y Karina, a pesar de darles varias oportunidades de intento no lo resolvieron por lo que se disminuyó el dominio numérico utilizando números menores para que si pudieran resolverlos e intentar que no sintieran frustración. Se les presentó un algoritmo cuyos sumandos fueran de una sola cifra: 5+ 4=
Análisis de las respuestas de los alumnos:
Al realizar el análisis didáctico de las respuestas se observa que la ,mayoría responde e intenta resolver la situación planteada con diferentes estrategias.
No hay dificultad en la consigna. Todos entendieron que según el resultado, debía utilizar las columnas de la derecha y `poner las X en su lugar.
Sólo 5 alumnos de 31 alumnos no supieron resolver, por lo que hubo que realizar una intervención y colaborar para intentar la resolución. Uno de ellos retoma y vuelve a intentarlo. Otros prosiguen con errores que imposibilitan una correcta resolución de la consigna.
Eso deja caro que la en esta clase existen diferentes niveles .
Los niños manejan los números naturales. Cuentan 7 sobre cuentan. Hay manejo de diferentes estrategias a la hora de resolver esta propuesta.
La búsqueda de estrategias más económicas para resolver las operaciones funciona como motor para descubrir nuevas relaciones involucradas en la notación numérica. Les cuesta mucho escribir y verbalizar los procesos internos a pesar que están incentivados y motivados.
Solicitan permanentemente la colaboración del docente.
Cuando se les propuso a los alumnos que anotaran en su hoja, la manera de cómo resolvieron comenzaron como a repensar nuevamente.
Si ya estaba hecho-pregunté- ¿por qué les cuesta tanto escribirlo?
Y una niña contestó:
-”Es que tengo que empezar a pensar de nuevo!”.
Otro dijo :-“es más fácil hacerlo que explicar como se hace”.
Se compararon las anotaciones a nivel grupal y se socializaron de forma que todos pudieron entender como cada uno pudo resolver las cuentas, por que algunos no pudieron y aquellos que utilizaron recursos que fueron válidos.
Unos contaron con los dedos,otros dijeron verbalmente que usaron la mente o la cabeza, otros se apoyaron de palitos o dibujaron en otra hoja para apoyarse (rayitas o puntitos). Otros utilizaron ciertas regularidades como sumar los dieces y luego las unidades y otros tuvieron que realizar las operaciones. otros material concreto y semiconcreto (rayitas)
Cada uno experimentó en forma individual y se intentó que cada una de las estrategias se aplicaran a otras operaciones.
Se aprecia que los niños tienen conocimiento acertado en el manejo de los números naturales y de la situaciones de sumar y restar.
La gran diversidad de resoluciones lleva a darse cuenta que el niño cuenta con cierto adiestramiento en el uso de determinados algoritmos de cálculo y cada niño puede decidir y ejecutar de forma autónoma la técnica que mejor se adapte a la situación a resolver
Intervención docente en forma grupal:
A medida que se pusieron en el pizarrón algunos obstáculos para aplicar la misma estrategia utilizada en la consigna pero con números más grandes complejizando la situación, pero tuvieron que utilizar el algoritmo. Al agrandar el dominio utilizando números que no todos podían manejarlos todos solicitaron que se les diera la oportunidad de realizar las operaciones. Se realizaron en el pizarrón.
Por lo que nuevamente se solicita que hagan explícitos sus modelos mentales a cada niño .Al mismo tiempo se resignifican conocimientos anteriores para usar el cálculo por aproximación como se había trabajado anteriormente.
Unos solicitan material concreto y se les brinda.
Otros alumnos pudieron hacer sus representaciones mentales.
Otros al usar los dedos o rayitas les sirvió para solucionar el problema.
Otros fueron capaces de proseguir la cuenta sin repetir la secuencia entera por lo que utilizaron el sobre conteo.
Se destaca que muchos niños aclaran que este tipo de operaciones realizadas por cálculo por aproximación las practican en casa.
Reflexión docente:
El trabajo realizado del cálculo mental por aproximación les gustó mucho a los niños. Les gustó buscar sus propios procedimientos, analizarlos y pusieron en juego sus conocimientos y aceptaron lo que tenían que saber nuevo. Todos expresaron su individualidad y compartieron con el grupo .
Al principio pensé que esta propuesta les iba a resultar difícil o que iban a tener dificultad.
Cuestiones que se remarcaron al cerrar la actividad:
Valor que se le da al cálculo mental por aproximación y sus infinitas estrategias para resolverlos.
Valor posicional de los números.
Algoritmos.
Valor a cada respuesta personal porque se valora reglas propias.
Importancia de la argumentación y el replanteo oral y escrito, porque legitima los saberes que cada uno posee.
Ser capaces de hacer conclusiones y compartirlas al grupo, reflexionar y comunicar ayuda a todos.
Ser capaces de modificar lo que pensaban antes (estrategia de base) por lo que aprendieron al realizar la actividad y así mejorar su repertorio.
Bibliografía
Chamorro,Mª del Carmen,(2006)”Didáctica de las matemáticas”Madrid,Ed.
Pearson.
Parra,Ceclia(1994)”Cálculo mental en la escuela primaria” en Parra,Ceclia
Saiz,Irma(Comps)”Didáctica de las Matemáticas”
Pazos,Lliana(2005)”Vamos a hacer cuentas” en Rodríguez Rava, Beatriz
Xavier de Mello,(coms).Quehacer atemático en la
Escuela,Montevideo,Editorial Fondo Queduca.
Variables:
• Limitación del tiempo para la realización de la consigna.
• Argumentar en forma oral y por escrito sus procedimientos .
• Confirmar resultados con calculadora y en caso de error, corregir y modificar el resultado.
• Número intentos.
• No usar algoritmos.
Posibles procedimientos
Realización correcta de la consiga.
No realización de la consigna.
Con apoyo e intervención del docente con alumnos que no pudieron realizar la tarea.
Realizar conteo y sobre conteo.
Uso de material concreto o gráfico
Uso de mecanismos de cuenta.
Uso de calculadora.
El docente distribuye a cada alumno una tarea para realizar en forma individual. Lee y explica la consigna. Establece las reglas del trabajo, solicitándoles que sea una respuesta aproximada, un cálculo mental.
En caso de no poder luego de cumplido el horario se deja que utilicen algoritmos y usar la calculadora.
Nombre: ……………………………….Clase:……….Escuela ..................
Consigna:
Para cada cuenta señala con un X la columna donde piensas que estará el resultado.
Menores que 25 Entre 25 y 35 Mayores que 35
12+ 30=
15+ 9=
20+21=
20-12=
45+9=
41-10=
La situación presentada a los alumnos se plantea dentro del campo de la adición, la sustracción , la numeración y el cálculo por aproximación.
No se considera necesario modificar la propuesta.
Los alumnos de este nivel comprendieron en su mayoría lo que se plantea y utilizaron sus propios recursos para aproximarse a la solución.
Se explicó previamente que en lo posible no usaran algoritmos o “ cuentas”.
Registro de algunas respuestas de los alumnos sobre los procedimientos empelados por los alumnos.
-Sol- “Qué fácil, porque 12 + 30 si digo yo 30 y me regalan 12 es entonces
10+30 y + 2 me da 42.”
-Aillén- “Usé los dedos y conté”
-Pilar-“Yo pensé con la mente
-Camila-” pensé con la mente y luego hice 2+0 y 3+1 me da 42
-Diego-“Para hacer la prueba use los dedos hice la cruz en el medio porque el
número entra entre 25 y 35”
Luciano:-“El 15 lo puse en la mente y le fui sumando de a 1”
Como dice Farol (1985) “los niños utilizan un procedimiento espontáneo para resolución de adiciones simples: procedimiento que se apoya en el conteo y, en particular m en elincremento de uno a uno.
Agustina-“Puse el 12 arriba del 30 y pensé el dos + cero y el uno con el 3”
-Delfina-“Yo lo hice con los dedos ,empecé con el 12 y le fui sumando hasta 30
y le agregué 2”.
-Federico-“ Usé los dedos, conté de a uno empezando por el doce y seguí de
uno en uno”.
Martina-“Yo lo hice mentalmente y con los dedo las cuentas: 0+2 me da 2 y
3 + 1 =4”
Le pregunté si le había resultado fácil o difíci ly me dijo que no, porque ella sabía que primero se suman las unidades y luego las decenas y “ ya está”.
Gonzalo-“Sume y puse las X en el lugar que correspondía. En la primera sume
30 + 10 + 2 y me dio 32 y seguí haciendo lo mismo con las otras
sumas”. Este niño usó la técnica de la descomposición.
Florencia- Usé los dedos y la cabeza.Por ejemplo 12+30. Si 3 mas 1 es 4 4e
cuarenta mas 2 me da 42”
Lucio-“Conté con mis dedos en voz baja. Empecé por el numero más alto y
después por el mas bajo (30 + 12)”
Este niño no me supo explicar el por qué de la elección del nº mas alto y luego el mas pequeño.
Catalina_”Usé dedos y lápices para contar .Por ejemplo la de 15+9 puse mis
quince lápices y seguí con 9 dedos y me dio 24.
Alumnos que no supieron escribir argumentando su trabajo y tampoco lo pudieron realizar en forma oral:
Elías, Gastón, Cinthia ,Belen, Erika y Karina
A todos ellos luego del trabajo grupal se les ofreció chapitas para ver si con material concreto podrían resolverlo.
Tres alumnos no pudieron tampoco con eso. Se cansaron y desistieron.
Dos de los cinco si agruparon y intentaron resolverlo aunque lo hicieron con errores.
Al primer intento Cinthia escribe en el pizarrón rayitas. //// y // y me contesta que el resultado es 42.
Al siguiente intento Gastón resuelve ir poniendo los resultados de los algoritmos y así comienza a ubicar las X en las casillas correspondientes.
Tratamiento del error.
A la hora de trabajar el error se tienen en cuenta todas las respuestas y son escuchadas todas las estrategias.
Se intenta buscar otros caminos y otros posibles resultados.
A todos se les solicito que verbalizaran los procesos internos pàra saber donde puntualizar y corregir.
Intervención docente con estos alumnos :
Modificación de la consigna porque reiteran:- ” no se que hacer”.
Resugerí si quería usar losdedos. Lo pensó un ratoperome dijo que sus dedos nole alcanzaban.
Con Erika y Karina, a pesar de darles varias oportunidades de intento no lo resolvieron por lo que se disminuyó el dominio numérico utilizando números menores para que si pudieran resolverlos e intentar que no sintieran frustración. Se les presentó un algoritmo cuyos sumandos fueran de una sola cifra: 5+ 4=
Análisis de las respuestas de los alumnos:
Al realizar el análisis didáctico de las respuestas se observa que la ,mayoría responde e intenta resolver la situación planteada con diferentes estrategias.
No hay dificultad en la consigna. Todos entendieron que según el resultado, debía utilizar las columnas de la derecha y `poner las X en su lugar.
Sólo 5 alumnos de 31 alumnos no supieron resolver, por lo que hubo que realizar una intervención y colaborar para intentar la resolución. Uno de ellos retoma y vuelve a intentarlo. Otros prosiguen con errores que imposibilitan una correcta resolución de la consigna.
Eso deja caro que la en esta clase existen diferentes niveles .
Los niños manejan los números naturales. Cuentan 7 sobre cuentan. Hay manejo de diferentes estrategias a la hora de resolver esta propuesta.
La búsqueda de estrategias más económicas para resolver las operaciones funciona como motor para descubrir nuevas relaciones involucradas en la notación numérica. Les cuesta mucho escribir y verbalizar los procesos internos a pesar que están incentivados y motivados.
Solicitan permanentemente la colaboración del docente.
Cuando se les propuso a los alumnos que anotaran en su hoja, la manera de cómo resolvieron comenzaron como a repensar nuevamente.
Si ya estaba hecho-pregunté- ¿por qué les cuesta tanto escribirlo?
Y una niña contestó:
-”Es que tengo que empezar a pensar de nuevo!”.
Otro dijo :-“es más fácil hacerlo que explicar como se hace”.
Se compararon las anotaciones a nivel grupal y se socializaron de forma que todos pudieron entender como cada uno pudo resolver las cuentas, por que algunos no pudieron y aquellos que utilizaron recursos que fueron válidos.
Unos contaron con los dedos,otros dijeron verbalmente que usaron la mente o la cabeza, otros se apoyaron de palitos o dibujaron en otra hoja para apoyarse (rayitas o puntitos). Otros utilizaron ciertas regularidades como sumar los dieces y luego las unidades y otros tuvieron que realizar las operaciones. otros material concreto y semiconcreto (rayitas)
Cada uno experimentó en forma individual y se intentó que cada una de las estrategias se aplicaran a otras operaciones.
Se aprecia que los niños tienen conocimiento acertado en el manejo de los números naturales y de la situaciones de sumar y restar.
La gran diversidad de resoluciones lleva a darse cuenta que el niño cuenta con cierto adiestramiento en el uso de determinados algoritmos de cálculo y cada niño puede decidir y ejecutar de forma autónoma la técnica que mejor se adapte a la situación a resolver
Intervención docente en forma grupal:
A medida que se pusieron en el pizarrón algunos obstáculos para aplicar la misma estrategia utilizada en la consigna pero con números más grandes complejizando la situación, pero tuvieron que utilizar el algoritmo. Al agrandar el dominio utilizando números que no todos podían manejarlos todos solicitaron que se les diera la oportunidad de realizar las operaciones. Se realizaron en el pizarrón.
Por lo que nuevamente se solicita que hagan explícitos sus modelos mentales a cada niño .Al mismo tiempo se resignifican conocimientos anteriores para usar el cálculo por aproximación como se había trabajado anteriormente.
Unos solicitan material concreto y se les brinda.
Otros alumnos pudieron hacer sus representaciones mentales.
Otros al usar los dedos o rayitas les sirvió para solucionar el problema.
Otros fueron capaces de proseguir la cuenta sin repetir la secuencia entera por lo que utilizaron el sobre conteo.
Se destaca que muchos niños aclaran que este tipo de operaciones realizadas por cálculo por aproximación las practican en casa.
Reflexión docente:
El trabajo realizado del cálculo mental por aproximación les gustó mucho a los niños. Les gustó buscar sus propios procedimientos, analizarlos y pusieron en juego sus conocimientos y aceptaron lo que tenían que saber nuevo. Todos expresaron su individualidad y compartieron con el grupo .
Al principio pensé que esta propuesta les iba a resultar difícil o que iban a tener dificultad.
Cuestiones que se remarcaron al cerrar la actividad:
Valor que se le da al cálculo mental por aproximación y sus infinitas estrategias para resolverlos.
Valor posicional de los números.
Algoritmos.
Valor a cada respuesta personal porque se valora reglas propias.
Importancia de la argumentación y el replanteo oral y escrito, porque legitima los saberes que cada uno posee.
Ser capaces de hacer conclusiones y compartirlas al grupo, reflexionar y comunicar ayuda a todos.
Ser capaces de modificar lo que pensaban antes (estrategia de base) por lo que aprendieron al realizar la actividad y así mejorar su repertorio.
Bibliografía
Chamorro,Mª del Carmen,(2006)”Didáctica de las matemáticas”Madrid,Ed.
Pearson.
Parra,Ceclia(1994)”Cálculo mental en la escuela primaria” en Parra,Ceclia
Saiz,Irma(Comps)”Didáctica de las Matemáticas”
Pazos,Lliana(2005)”Vamos a hacer cuentas” en Rodríguez Rava, Beatriz
Xavier de Mello,(coms).Quehacer atemático en la
Escuela,Montevideo,Editorial Fondo Queduca.
Contenido: numeración en la escuela
Contenido: numeración, correspondencia de colecciones.
Objetivo:
• Que el alumno logre medir una colección para anticipar el cardinal de la misma en relación a otra colección.
• Determinar y analizar las estrategias empleadas por los alumnos para resolver la situación.
Estrategia cognitiva: Anticipar. Contar.
Variables didácticas:
• Presencia de una colección.
• Ausencia de la colección.
• Número de intentos.
• Repartir una colección en otra sin que sobren elementos.
• Número de niños.
• No se les da material para que escriban.
¿Por que las variables didácticas?
Las mismas permiten que las situaciones de enseñanza sean más complejas. El alumno aprende en la medida que modifica su relación al conocimiento, cuando hay una construcción del número.
Se va adaptando a las situaciones que se le van presentando con las diferentes consignas. Las diferentes variables que se presentan en esta situación de numeración, ven determinando las estrategias de resolución que debe de poner el alumno en juego.
La propuesta con las diferentes variables didácticas se va cerrando, sin cambiar el objetivo. Así se podrá observar los diferentes niveles de conceptualización y las estrategias de resolución.
Consigna:
1) Debes entregar a cada niño de esta mesa un lápiz. (5 niños, 9 lápices)
2) Debes entregar a cada niño de esta mesa un lápiz no pueden quedar niños sin lápices ni te deben sobrar lápices, en un solo intento. (6 niños, 14 lápices)
3) Debes entregar a cada niño de la mesa que está fuera del salón de clase, un lápiz. ( 7 niños, 16 lápices)
4) Debes entregar a cada niño de la mesa que está fuera del salón de clase, un lápiz, sin que te sobre ninguno y en un solo intento. ( 11 niños, 25 lápices)
5) Se repiten los cuatro ejercicios pero aumentando el dominio de ambas colecciones.
6) En el ejercicio Nº 4 se introduce la variable varios intentos, para aquellos alumnos que no lo logran, si no lo consigue se recogen los lápices y se vuelve al lugar donde está la caja con los lápices y se intenta de nuevo.
Condiciones de realización.
Colecciones a la vista
La actividad se realiza en el salón, se sientan en un equipo los niños a los cuales se le repartirán los lápices.
Se va cambiando y aumentando el dominio numérico de niños como de lápices.
Además se le presenta la variable número de intentos y sin resto de lápices al distribuir.
Colecciones alejadas.
En esta oportunidad la actividad se realizará en dos espacios, uno en el salón de clase y otro en el patio exterior al salón. Los alumnos trabajarán en forma individual.
El docente observará, realizará alguna intervención oportunas si es necesario y registrará los comentarios y estrategias de los alumnos en la resolución de las situaciones planteadas.
Los alumnos se dividen en dos equipos, unos pasan a integrar las colecciones y los otros miden las colecciones. Se eligen alumnos con diferentes niveles conceptuales para distribuir la colecciones de lápices.
Cuando la colección de alumnos se va a retirar del salón, al alumno que tendrá que distribuir los lápices se le tapan los ojos con una cinta para que no vea los niños que salen.
¿Por qué las colecciones alejadas?
Para evitar el recurso de correspondencia uno a uno. Se le coloca una cantidad de niños que no pueda ser abarcada perceptivamente, pero que que no supere el rango numérico del cual dispone el alumno que realizará la actividad.
¿Por qué de una sola vez?
Para favorecer el uso del conteo.
Se observará si le faltan lápices si el alumno perceptivamente puede decir cuántos son.
Lo mismo si sobran.
Se debe registrar si hay diferencia, cuando no logra anticipar el número de la colección , si sobrar, anotar la diferencia y averiguar que pasó.
¿Por qué varios intentos y a quién?
Es probable que un niño fracase en un primer intento, se debe prever darle dos o tres oportunidades más.
Se eligen niños que sabemos no obtendrá la solución rápidamente.
Por qué la ausencia de papel y lápiz.
Estos materiales pueden llevar al niño a realizar alguna representación de los alumnos, y así distribuir de una sola vez los lápices. Aquí la correspondencia sería uno a uno, es una enumeración, sin utilizar los números. La ausencia de estos materiales son importantes en la variable ya que la misma me permite mantenerme en el objetivo propuesto.
Conocimientos en juego.
El conocimiento es el conteo, que el alumno cuente como iniciativa.
Cuando se le cierra la propuesta de trabajo, y debe repartir lápices entre los niños de un equipo, sin tener esa colección presente, de una sola vez y sin que sobren lápices tendrá que buscar entre sus conocimientos, para poder contar y anticipar el cardinal de la colección.
Posibles procedimientos.
Que para realizar la actividad necesite tener las dos colecciones a la vista (lápices y niños)
Que no cuente la colección de niños y lleve más o menos lápices.
Que lo resuelva por ensayo y error.
Que cuente y conceptualice el número realizando la actividad correctamente.
Que necesite más de un intento.
Procedimientos realizados por los alumnos.
Joaquín, 7 años cursa por primera vez.
Cuando la consigna es abierta N º 1, Joaquín distribuye un lápiz a cada niño, le sobran lápices y los devuelve a la caja. En el momento de la actividad pone sus lápices en la palma de la mano y son los compañeros los que se sirven. Le sobran 3 lápices y perceptivamente no los reconoce, cuenta.
Cuando se le presenta la consigna N º 2, Joaquín realiza la correspondencia uno a uno, es una enumeración no realiza ningún conteo.
Para llevar los lápices mira un niño en la mesa y se lo sirve, vuelve a levantar la vista y mira a otro niño y se sirve otro lápiz, y así sucesivamente hasta completar con la mirada toda la ronda de niños. Luego distribuye los lápices entre los niños de esa mesa.
En la tercera consigna distribuye y no le alcanza, vuelve al salón en busca de más lápices, cuando solo le faltaban dos niños por darle un lápiz, se lleva 9 lápices.
Intervención docente:
¿Por qué llevas más lápices?
Por que faltan.
¿Te alcanzarán?
No sé.
Vamos a mirar cuantos niños no tienen lápices. ¿Cuántos son?
Federico y Camila.
¿Te alcanzan los que llevas?
Sí.
A Joaquín se le presenta todo un desafío al momento de resolver la tercera consigna (una colección que no está a la vista).
Lo realiza en varios intentos.
A pesar de la intervención docente Joaquín no devuelve a la caja los lápices que le sobran.
Vuelve a realizar la actividad (consigna N º 4 ) con un dominio menor de lápices y de niños ( 5 – 7 ).
A pesar de ello cuenta, algunos compañeros le dicen que cuente, Joaquín lleva cinco lápices luego de contar dos veces y pedir para llevar la caja para distribuir. No lleva la caja a la mesa.
Joaquín festeja el haber realizado bien la actividad en este intento.
No se continúa con las otras consignas aumentando el dominio ya que Joaquín se siente seguro en este dominio y ha realizado un gran esfuerzo por resolver la actividad presentada.
Geraldine, 7 años cursa por primera vez.
Consigna N º 1, lleva el plato y reparte a pesar que se le dice que debe de llevar solamente los lápices.
Consigna N º 2, ( 7 niños – 12 lápices)
Toma unos cuantos lápices sin contar, reparte y alcanzan sin sobrar.
Intervención docente:
¿Qué hiciste?
Agarré lápices para ellos.
¿Cómo hiciste para que te alcanzara justo sin sobrar lápices?
Porque Micaela no tenía.
Ningún niño tenía lápices.
No, yo los repartí.
Ahora reparte nuevamente pero a este equipo de niños. (cambio el grupo de niños sin modificar el dominio de niños ni de lápices)
Se trabaja con la variable varios intentos.
Primer intento.
Lleva tres lápices y los distribuye.
Vuelve y reparte de a uno, en cuatro veces hasta completar los siete niños. Realiza la correspondencia biunívoca uno a uno.
Dice: ahora me alcanzó.
Se trabaja nuevamente con Geraldine reduciendo el dominio de ambas colecciones, para que las pueda abarcar perceptivamente. ( 4 niños- 6 lápices)
Distribuye sin contar, en un solo intento sin que falten ni sobren lápices.
Mira la colección de niños ( se muestra segura), realiza el conteo moviendo la cabeza. Luego cuenta cuatro lápices en la caja y distribuye correctamente.
Carolina, 7 años cursa por primera vez. Muy buen rendimiento.
Cumple correctamente las tres primeras consignas.
En la consigna N º 4 cuenta de dos en dos agregando un lápiz hasta llegar a 25. Distribuye correctamente.
Trabaja con todo el grupo como una colección, vuelve a contar de dos en dos y distribuye correctamente los lápices.
Doris, 8 años cursa por segunda vez.
Trabaja correctamente las dos primeras consignas con un dominio más elevado ( 24- niños 32 lápices) que el propuesto, ya que la niña lo maneja correctamente.
En la cuarta consigna, ( colecciones alejadas y en un intento) cuenta 25 niños y son 24 niños. Cuenta 25 lápices. Distribuye y verbaliza: “ son 24”.
Doris al quedarse con un lápiz en la mano revisa con la mirada la colección de alumnos y verbaliza: “todos tienen, son 24”.
Ella misma corrige su error, no es en la distribución sino en el conteo.
Valor de la matemáticas:
FORMATIVO
Desarrolla el sentido crítico y la autonomía intelectual.
INSTRUMENTAL.
El conocimiento matemático es utilizado como herramienta para resolver situaciones problemas
SOCIAL.
Los conocimientos matemáticos son utilizados para comprender el entorno donde se desarrolla el alumno, los mismos son una herramienta de comunicación
Objetivo:
• Que el alumno logre medir una colección para anticipar el cardinal de la misma en relación a otra colección.
• Determinar y analizar las estrategias empleadas por los alumnos para resolver la situación.
Estrategia cognitiva: Anticipar. Contar.
Variables didácticas:
• Presencia de una colección.
• Ausencia de la colección.
• Número de intentos.
• Repartir una colección en otra sin que sobren elementos.
• Número de niños.
• No se les da material para que escriban.
¿Por que las variables didácticas?
Las mismas permiten que las situaciones de enseñanza sean más complejas. El alumno aprende en la medida que modifica su relación al conocimiento, cuando hay una construcción del número.
Se va adaptando a las situaciones que se le van presentando con las diferentes consignas. Las diferentes variables que se presentan en esta situación de numeración, ven determinando las estrategias de resolución que debe de poner el alumno en juego.
La propuesta con las diferentes variables didácticas se va cerrando, sin cambiar el objetivo. Así se podrá observar los diferentes niveles de conceptualización y las estrategias de resolución.
Consigna:
1) Debes entregar a cada niño de esta mesa un lápiz. (5 niños, 9 lápices)
2) Debes entregar a cada niño de esta mesa un lápiz no pueden quedar niños sin lápices ni te deben sobrar lápices, en un solo intento. (6 niños, 14 lápices)
3) Debes entregar a cada niño de la mesa que está fuera del salón de clase, un lápiz. ( 7 niños, 16 lápices)
4) Debes entregar a cada niño de la mesa que está fuera del salón de clase, un lápiz, sin que te sobre ninguno y en un solo intento. ( 11 niños, 25 lápices)
5) Se repiten los cuatro ejercicios pero aumentando el dominio de ambas colecciones.
6) En el ejercicio Nº 4 se introduce la variable varios intentos, para aquellos alumnos que no lo logran, si no lo consigue se recogen los lápices y se vuelve al lugar donde está la caja con los lápices y se intenta de nuevo.
Condiciones de realización.
Colecciones a la vista
La actividad se realiza en el salón, se sientan en un equipo los niños a los cuales se le repartirán los lápices.
Se va cambiando y aumentando el dominio numérico de niños como de lápices.
Además se le presenta la variable número de intentos y sin resto de lápices al distribuir.
Colecciones alejadas.
En esta oportunidad la actividad se realizará en dos espacios, uno en el salón de clase y otro en el patio exterior al salón. Los alumnos trabajarán en forma individual.
El docente observará, realizará alguna intervención oportunas si es necesario y registrará los comentarios y estrategias de los alumnos en la resolución de las situaciones planteadas.
Los alumnos se dividen en dos equipos, unos pasan a integrar las colecciones y los otros miden las colecciones. Se eligen alumnos con diferentes niveles conceptuales para distribuir la colecciones de lápices.
Cuando la colección de alumnos se va a retirar del salón, al alumno que tendrá que distribuir los lápices se le tapan los ojos con una cinta para que no vea los niños que salen.
¿Por qué las colecciones alejadas?
Para evitar el recurso de correspondencia uno a uno. Se le coloca una cantidad de niños que no pueda ser abarcada perceptivamente, pero que que no supere el rango numérico del cual dispone el alumno que realizará la actividad.
¿Por qué de una sola vez?
Para favorecer el uso del conteo.
Se observará si le faltan lápices si el alumno perceptivamente puede decir cuántos son.
Lo mismo si sobran.
Se debe registrar si hay diferencia, cuando no logra anticipar el número de la colección , si sobrar, anotar la diferencia y averiguar que pasó.
¿Por qué varios intentos y a quién?
Es probable que un niño fracase en un primer intento, se debe prever darle dos o tres oportunidades más.
Se eligen niños que sabemos no obtendrá la solución rápidamente.
Por qué la ausencia de papel y lápiz.
Estos materiales pueden llevar al niño a realizar alguna representación de los alumnos, y así distribuir de una sola vez los lápices. Aquí la correspondencia sería uno a uno, es una enumeración, sin utilizar los números. La ausencia de estos materiales son importantes en la variable ya que la misma me permite mantenerme en el objetivo propuesto.
Conocimientos en juego.
El conocimiento es el conteo, que el alumno cuente como iniciativa.
Cuando se le cierra la propuesta de trabajo, y debe repartir lápices entre los niños de un equipo, sin tener esa colección presente, de una sola vez y sin que sobren lápices tendrá que buscar entre sus conocimientos, para poder contar y anticipar el cardinal de la colección.
Posibles procedimientos.
Que para realizar la actividad necesite tener las dos colecciones a la vista (lápices y niños)
Que no cuente la colección de niños y lleve más o menos lápices.
Que lo resuelva por ensayo y error.
Que cuente y conceptualice el número realizando la actividad correctamente.
Que necesite más de un intento.
Procedimientos realizados por los alumnos.
Joaquín, 7 años cursa por primera vez.
Cuando la consigna es abierta N º 1, Joaquín distribuye un lápiz a cada niño, le sobran lápices y los devuelve a la caja. En el momento de la actividad pone sus lápices en la palma de la mano y son los compañeros los que se sirven. Le sobran 3 lápices y perceptivamente no los reconoce, cuenta.
Cuando se le presenta la consigna N º 2, Joaquín realiza la correspondencia uno a uno, es una enumeración no realiza ningún conteo.
Para llevar los lápices mira un niño en la mesa y se lo sirve, vuelve a levantar la vista y mira a otro niño y se sirve otro lápiz, y así sucesivamente hasta completar con la mirada toda la ronda de niños. Luego distribuye los lápices entre los niños de esa mesa.
En la tercera consigna distribuye y no le alcanza, vuelve al salón en busca de más lápices, cuando solo le faltaban dos niños por darle un lápiz, se lleva 9 lápices.
Intervención docente:
¿Por qué llevas más lápices?
Por que faltan.
¿Te alcanzarán?
No sé.
Vamos a mirar cuantos niños no tienen lápices. ¿Cuántos son?
Federico y Camila.
¿Te alcanzan los que llevas?
Sí.
A Joaquín se le presenta todo un desafío al momento de resolver la tercera consigna (una colección que no está a la vista).
Lo realiza en varios intentos.
A pesar de la intervención docente Joaquín no devuelve a la caja los lápices que le sobran.
Vuelve a realizar la actividad (consigna N º 4 ) con un dominio menor de lápices y de niños ( 5 – 7 ).
A pesar de ello cuenta, algunos compañeros le dicen que cuente, Joaquín lleva cinco lápices luego de contar dos veces y pedir para llevar la caja para distribuir. No lleva la caja a la mesa.
Joaquín festeja el haber realizado bien la actividad en este intento.
No se continúa con las otras consignas aumentando el dominio ya que Joaquín se siente seguro en este dominio y ha realizado un gran esfuerzo por resolver la actividad presentada.
Geraldine, 7 años cursa por primera vez.
Consigna N º 1, lleva el plato y reparte a pesar que se le dice que debe de llevar solamente los lápices.
Consigna N º 2, ( 7 niños – 12 lápices)
Toma unos cuantos lápices sin contar, reparte y alcanzan sin sobrar.
Intervención docente:
¿Qué hiciste?
Agarré lápices para ellos.
¿Cómo hiciste para que te alcanzara justo sin sobrar lápices?
Porque Micaela no tenía.
Ningún niño tenía lápices.
No, yo los repartí.
Ahora reparte nuevamente pero a este equipo de niños. (cambio el grupo de niños sin modificar el dominio de niños ni de lápices)
Se trabaja con la variable varios intentos.
Primer intento.
Lleva tres lápices y los distribuye.
Vuelve y reparte de a uno, en cuatro veces hasta completar los siete niños. Realiza la correspondencia biunívoca uno a uno.
Dice: ahora me alcanzó.
Se trabaja nuevamente con Geraldine reduciendo el dominio de ambas colecciones, para que las pueda abarcar perceptivamente. ( 4 niños- 6 lápices)
Distribuye sin contar, en un solo intento sin que falten ni sobren lápices.
Mira la colección de niños ( se muestra segura), realiza el conteo moviendo la cabeza. Luego cuenta cuatro lápices en la caja y distribuye correctamente.
Carolina, 7 años cursa por primera vez. Muy buen rendimiento.
Cumple correctamente las tres primeras consignas.
En la consigna N º 4 cuenta de dos en dos agregando un lápiz hasta llegar a 25. Distribuye correctamente.
Trabaja con todo el grupo como una colección, vuelve a contar de dos en dos y distribuye correctamente los lápices.
Doris, 8 años cursa por segunda vez.
Trabaja correctamente las dos primeras consignas con un dominio más elevado ( 24- niños 32 lápices) que el propuesto, ya que la niña lo maneja correctamente.
En la cuarta consigna, ( colecciones alejadas y en un intento) cuenta 25 niños y son 24 niños. Cuenta 25 lápices. Distribuye y verbaliza: “ son 24”.
Doris al quedarse con un lápiz en la mano revisa con la mirada la colección de alumnos y verbaliza: “todos tienen, son 24”.
Ella misma corrige su error, no es en la distribución sino en el conteo.
Valor de la matemáticas:
FORMATIVO
Desarrolla el sentido crítico y la autonomía intelectual.
INSTRUMENTAL.
El conocimiento matemático es utilizado como herramienta para resolver situaciones problemas
SOCIAL.
Los conocimientos matemáticos son utilizados para comprender el entorno donde se desarrolla el alumno, los mismos son una herramienta de comunicación
Numeración .Valor posicional.
Si se entrevistan en clase en forma individual, se puede plantear que hay un conocimiento de numeración y del valor posicional en segundo año de escuela y en el mes de junio.
Los alumnos en sus diferentes y variadas respuestas, las que en general son positivas y con posturas receptivas, pueden responder a las preguntas pautadas en la entrevista como a las intervenciones docentes oportunas, en que vi la necesidad de plantear en algunas oportunidades.
Dicha necesidad, de realizar otras intervenciones docentes, de las plenteadas, surge de las respuestas mismas que daban los alumnos.
Se introducen en las entrevistas variables didácticas, las cuales no estaban previstas en el ejercicio. Estas variables, que introducen elementos nuevos a los ejercicios promueven y demuestran avances conceptuales.
Al hablar de número en nuestro sistema de numeración nos encontramos con elementos, con hipótesis que aparecen en las entrevistas.
Quiero destacar la importancia que se le debe de dar en la escuela, a las “buenas prácticas de enseñanza”, para la comprensión de la numeración.
Nuestro sistema de numeración es económica pero no transparente. Los alumnos no peden como en otros sistemas de numeración, determinar el dibujo del símbolo y el valor del mismo. Por ello en las entrevistas en algunas ocasiones pregunto especialmente: “Si fueran chocolates, con que dos te quedarías 211 o 112? Me remito específicamente al valor posicional.
Es importante seguir indagando en las hipótesis que traen los alumnos, y en las dificultades que plantea la numeración hablada, que no es posicional, de la numeración escrita.
La hipótesis de que la numeración hablada se traduce en la notación escrita es lo que lleva a los niños a producir notaciones no convencionales.
Por ejemplo en la entrevista Nº 2 cuando Tatiana no lee el número 112, le pido que lo escriba. Aquí se ve claramente que hace una correspondencia equívoca en 112 escribiendo 1012 y una lectura de 112.
Además presenta la hipótesis “el primero es el que manda” y “ a mayor número de cifras mayor valor”. Responde el mayor 211 de 112 porque el 2 está primero.
Cuando le muestro las notaciones de 211 y 1012 (escrita por ella) responde que el más grande es 1012 porque al contar las cifras para ella dice” vale más”.
Lucio en la entrevista Nº 1 y Ana Lucía en la entrevista Nº 3, Paula en la entrevista Nº 6 y Camilo en la entrevista Nª 9 responden el valor del número más grande desde los nudos, desde las familias. En sus respuestas se escucha:
Camilo: “porque este tiene doscientos (211) y este tiene cien (112). Este (211) es de una fila y este (112) es de una fila más chica”
Aquí Camilo puede comparar el valor de ambas notaciones no por las hipótesis “el primero es el que manda” al igual que Lucio, Ana lucía y Paula, sino por pertenecer ambas notaciones a la familia de los cien y de los doscientos.
Se ve en la respuesta de:
Paula:
M: ¿Cuál de los dos es más grande?
P: Éste, señala y lee el 211.
M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?
LP Porque este (211) es de los doscientos y vale más, es más grande que el 112.
M: ¿El 211 es más grande porque es de los doscientos, y el 112 de quién es?
P: Es del 137 que yo tomo con mamá para venir a la escuela. Pero es más chico.”
Paula además de saber que pertenecen a familias diferentes compara y relaciona con la numeración de la vida cotidiana: “Es del 137 que yo tomo con mamá para venir a la escuela. Pero es más chico.” Se ve el valor social del uso del número.
Si se restringe el campo numérico se le impide a los alumnos poner en juego lo que saben. En este caso Paula llega a la escuela en el ómnibus 137. Lo ve escrito, lo maneja lo sabe, y lo utiliza en este ejercicio que le plantea el docente. Se aprende mejor conociendo otros números y la relación entre ellos. Paula dice que el 112 es del 137. Hay que seguir investigando en la secuencia didáctica a trabajar qué significa para Paula y para otros niños que el 112 es del 137, no dice el 112 es de los cienes , como dice el 211 es del 200. Paula no solo puede recitar el número 137 del ómnibus, o sea escribirlo y leerlo. Va más allá lo relaciona con los cienes en el número 112.
Ana Lucía responde teniendo presente los nudos:
“ Porque es el 200 y vale más el 2 cuando va adelante que cuando va atrás” A pesar de decir cuando va adelante que cuando va atrás, ya se diferencia en su respuesta un esbozo de los nudos al decir “porque es el 200”.
En la entrevista Nº 4 de Lucio F. Se ve que puede diferenciar el valor de las notaciones por las hipótesis ”el primero es el que manda” LF: “porque el dos está adelante (señala el 211) y el uno aquí (señala el 112) está adelante.
A pesar de responder correctamente hay que seguir explorando en Lucio F ya que después no logra contestar correctamente ¿si fueran chocolates el 2 del 211 y el 2 del 112, con cuál te quedarías? Aquí Lucio F. Responde por momentos bien desde la hipótesis “el primero es el que manda” y logra decir que es más grande el 2 del 211, porque está primero. Luego dice que ambos dos del 211 y del 112 valen lo mismo:
M: Cuántos chocolates hay en este 2 (211)?
L F: dos
M: ¿Y cuántos hay en este 2 (112)?
L F: dos.
En la entrevista Nº 7 Horacio responde también por la hipótesis “el primero es el que manda”, pero demuestra en el final de sus respuestas que el valor del dos en 211 y en 112 es diferente por la posición.
M: ¿Cuántos chicles hay en el 2 del 211 y el 2 del 112? (le muestro la cartilla)
H: Señala el 2 del 211 y dice: “son doscientos chicles”, y señala el 2 del 112 y dice: “son dos chicles”
Sofía en la entrevista Nº 8 no presenta dificultad alguna. Llega a jugar incluso con la suma de las cifras:
M: ¿Cuál de los dos es más grande?
S: Éste, señala y lee el 211.
M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?
S: Porque vale más.
Pero si sumaras todos las cifras ( se ríe, señalando las cifras 1, 1, 2 de ambos números 112 y 211) valen lo mismo . Valen cuatro.
M: Pero qué número es más grande?
S: El 211
M: ¿Por qué?
S: Porque está después que el 112.
(Se muestra muy segura al responder)
Andrés de 7años (entrevista Nº 10) se muestra muy reticente a la entrevista, negándose a responder varias veces con un “no se”-.
Puede decirse que sabe cual de los dos es más grande y señala, pero no colabora en fundamentar.
No lee los números 211 y 112 pero escribe correctamente los números 100 y 200. Aquí hay que investigar además en los nudos. Puede ser que memorice los nudos sin comprensión.
Continuar trabajando y generando “buenas prácticas de enseñanza” en numeración es fundamental en nuestras escuelas.
Como mencioné anteriormente nuestro sistema de numeración es económico porque la posicionalidad hace a que diez símbolos sean suficientes para poder escribir finitas notaciones numéricas.
Pero economía y transparencia no son dos variables independientes. Al ser el sistema de base diez económico no lo hace transparente. Esto lleva al trabajo en numeración desde diferentes prácticas y a las oportunas intervenciones docentes para producir avances conceptuales hacia el concepto de posicionalidad y transparencia. Es por ello que cuando hablo de pensar y repensar en “buenas prácticas de enseñanza” me remito a Brousseau:” .....una cierta dosis de errores y contrasentidos, no solo del lado de los alumnos, sino también del lado de la enseñanza.....”
“Al pensar el trabajo didáctico con la numeración escrita es imprescindible tener presente una cuestión esencial: se trata e enseñar-y de aprender-un sistema de representación .Habrá que crear situaciones que permitan develar la organización propia del sistema como descubrir de qué manera este sistema encarna las propiedades de la estructura aritmética que él representa…”(3)
(3) Parra Cecilia“Didáctica de las matemáticas ,p.p143.El sistema de numeración:un problema didáctico Lerner y Sadovsky.
Bibliografía
Curti. Maria del Carmen “El quehacer matemático en la escuela”.
Parra,Cecilia”Didáctica de matemática”Ed Paidos “EL sistema de numeración :un problema didáctico de Delia Lerner y Patricia Sadovsky.
Ressia,Beatriz,(2003)”La enseñanza del número y del sistema de numeración en el nivel inicial y primer año de la E.G.B.Ed Paidós. Mabel Panizza (Com)
Xavier de Mello Alicia “El quehacer matemático en la escuela”
Los alumnos en sus diferentes y variadas respuestas, las que en general son positivas y con posturas receptivas, pueden responder a las preguntas pautadas en la entrevista como a las intervenciones docentes oportunas, en que vi la necesidad de plantear en algunas oportunidades.
Dicha necesidad, de realizar otras intervenciones docentes, de las plenteadas, surge de las respuestas mismas que daban los alumnos.
Se introducen en las entrevistas variables didácticas, las cuales no estaban previstas en el ejercicio. Estas variables, que introducen elementos nuevos a los ejercicios promueven y demuestran avances conceptuales.
Al hablar de número en nuestro sistema de numeración nos encontramos con elementos, con hipótesis que aparecen en las entrevistas.
Quiero destacar la importancia que se le debe de dar en la escuela, a las “buenas prácticas de enseñanza”, para la comprensión de la numeración.
Nuestro sistema de numeración es económica pero no transparente. Los alumnos no peden como en otros sistemas de numeración, determinar el dibujo del símbolo y el valor del mismo. Por ello en las entrevistas en algunas ocasiones pregunto especialmente: “Si fueran chocolates, con que dos te quedarías 211 o 112? Me remito específicamente al valor posicional.
Es importante seguir indagando en las hipótesis que traen los alumnos, y en las dificultades que plantea la numeración hablada, que no es posicional, de la numeración escrita.
La hipótesis de que la numeración hablada se traduce en la notación escrita es lo que lleva a los niños a producir notaciones no convencionales.
Por ejemplo en la entrevista Nº 2 cuando Tatiana no lee el número 112, le pido que lo escriba. Aquí se ve claramente que hace una correspondencia equívoca en 112 escribiendo 1012 y una lectura de 112.
Además presenta la hipótesis “el primero es el que manda” y “ a mayor número de cifras mayor valor”. Responde el mayor 211 de 112 porque el 2 está primero.
Cuando le muestro las notaciones de 211 y 1012 (escrita por ella) responde que el más grande es 1012 porque al contar las cifras para ella dice” vale más”.
Lucio en la entrevista Nº 1 y Ana Lucía en la entrevista Nº 3, Paula en la entrevista Nº 6 y Camilo en la entrevista Nª 9 responden el valor del número más grande desde los nudos, desde las familias. En sus respuestas se escucha:
Camilo: “porque este tiene doscientos (211) y este tiene cien (112). Este (211) es de una fila y este (112) es de una fila más chica”
Aquí Camilo puede comparar el valor de ambas notaciones no por las hipótesis “el primero es el que manda” al igual que Lucio, Ana lucía y Paula, sino por pertenecer ambas notaciones a la familia de los cien y de los doscientos.
Se ve en la respuesta de:
Paula:
M: ¿Cuál de los dos es más grande?
P: Éste, señala y lee el 211.
M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?
LP Porque este (211) es de los doscientos y vale más, es más grande que el 112.
M: ¿El 211 es más grande porque es de los doscientos, y el 112 de quién es?
P: Es del 137 que yo tomo con mamá para venir a la escuela. Pero es más chico.”
Paula además de saber que pertenecen a familias diferentes compara y relaciona con la numeración de la vida cotidiana: “Es del 137 que yo tomo con mamá para venir a la escuela. Pero es más chico.” Se ve el valor social del uso del número.
Si se restringe el campo numérico se le impide a los alumnos poner en juego lo que saben. En este caso Paula llega a la escuela en el ómnibus 137. Lo ve escrito, lo maneja lo sabe, y lo utiliza en este ejercicio que le plantea el docente. Se aprende mejor conociendo otros números y la relación entre ellos. Paula dice que el 112 es del 137. Hay que seguir investigando en la secuencia didáctica a trabajar qué significa para Paula y para otros niños que el 112 es del 137, no dice el 112 es de los cienes , como dice el 211 es del 200. Paula no solo puede recitar el número 137 del ómnibus, o sea escribirlo y leerlo. Va más allá lo relaciona con los cienes en el número 112.
Ana Lucía responde teniendo presente los nudos:
“ Porque es el 200 y vale más el 2 cuando va adelante que cuando va atrás” A pesar de decir cuando va adelante que cuando va atrás, ya se diferencia en su respuesta un esbozo de los nudos al decir “porque es el 200”.
En la entrevista Nº 4 de Lucio F. Se ve que puede diferenciar el valor de las notaciones por las hipótesis ”el primero es el que manda” LF: “porque el dos está adelante (señala el 211) y el uno aquí (señala el 112) está adelante.
A pesar de responder correctamente hay que seguir explorando en Lucio F ya que después no logra contestar correctamente ¿si fueran chocolates el 2 del 211 y el 2 del 112, con cuál te quedarías? Aquí Lucio F. Responde por momentos bien desde la hipótesis “el primero es el que manda” y logra decir que es más grande el 2 del 211, porque está primero. Luego dice que ambos dos del 211 y del 112 valen lo mismo:
M: Cuántos chocolates hay en este 2 (211)?
L F: dos
M: ¿Y cuántos hay en este 2 (112)?
L F: dos.
En la entrevista Nº 7 Horacio responde también por la hipótesis “el primero es el que manda”, pero demuestra en el final de sus respuestas que el valor del dos en 211 y en 112 es diferente por la posición.
M: ¿Cuántos chicles hay en el 2 del 211 y el 2 del 112? (le muestro la cartilla)
H: Señala el 2 del 211 y dice: “son doscientos chicles”, y señala el 2 del 112 y dice: “son dos chicles”
Sofía en la entrevista Nº 8 no presenta dificultad alguna. Llega a jugar incluso con la suma de las cifras:
M: ¿Cuál de los dos es más grande?
S: Éste, señala y lee el 211.
M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?
S: Porque vale más.
Pero si sumaras todos las cifras ( se ríe, señalando las cifras 1, 1, 2 de ambos números 112 y 211) valen lo mismo . Valen cuatro.
M: Pero qué número es más grande?
S: El 211
M: ¿Por qué?
S: Porque está después que el 112.
(Se muestra muy segura al responder)
Andrés de 7años (entrevista Nº 10) se muestra muy reticente a la entrevista, negándose a responder varias veces con un “no se”-.
Puede decirse que sabe cual de los dos es más grande y señala, pero no colabora en fundamentar.
No lee los números 211 y 112 pero escribe correctamente los números 100 y 200. Aquí hay que investigar además en los nudos. Puede ser que memorice los nudos sin comprensión.
Continuar trabajando y generando “buenas prácticas de enseñanza” en numeración es fundamental en nuestras escuelas.
Como mencioné anteriormente nuestro sistema de numeración es económico porque la posicionalidad hace a que diez símbolos sean suficientes para poder escribir finitas notaciones numéricas.
Pero economía y transparencia no son dos variables independientes. Al ser el sistema de base diez económico no lo hace transparente. Esto lleva al trabajo en numeración desde diferentes prácticas y a las oportunas intervenciones docentes para producir avances conceptuales hacia el concepto de posicionalidad y transparencia. Es por ello que cuando hablo de pensar y repensar en “buenas prácticas de enseñanza” me remito a Brousseau:” .....una cierta dosis de errores y contrasentidos, no solo del lado de los alumnos, sino también del lado de la enseñanza.....”
“Al pensar el trabajo didáctico con la numeración escrita es imprescindible tener presente una cuestión esencial: se trata e enseñar-y de aprender-un sistema de representación .Habrá que crear situaciones que permitan develar la organización propia del sistema como descubrir de qué manera este sistema encarna las propiedades de la estructura aritmética que él representa…”(3)
(3) Parra Cecilia“Didáctica de las matemáticas ,p.p143.El sistema de numeración:un problema didáctico Lerner y Sadovsky.
Bibliografía
Curti. Maria del Carmen “El quehacer matemático en la escuela”.
Parra,Cecilia”Didáctica de matemática”Ed Paidos “EL sistema de numeración :un problema didáctico de Delia Lerner y Patricia Sadovsky.
Ressia,Beatriz,(2003)”La enseñanza del número y del sistema de numeración en el nivel inicial y primer año de la E.G.B.Ed Paidós. Mabel Panizza (Com)
Xavier de Mello Alicia “El quehacer matemático en la escuela”
Enseñar números en el sistema de numeración
Los números y el sistema de numeración.
…”Los niños de 7 años han tenido muchas ocasiones de interactuar con los números de sus diversos usos sociales: números de puerta, teléfono, ómnibus, cantidad de hermanos, precios, almanaques, balanzas, juegos de azar, etc. El conocimiento espontáneo de los números se va dando a través del uso:
números para comunicar cantidades, comparar ,ordenar, contar, medir, calcular, identificar,
¿Cómo organizar todas estas informaciones?
¿Cómo lograr el establecimiento de relaciones no arbitrarias en ellas?
¿Cómo identificar los conceptos matemáticos que permiten ir construyendo?...”(1)
…”La adquisición de todo conocimiento supone un proceso de construcción intelectual, que es el resultado de la interacción entre las ideas y construcciones que el niño posee acerca del conocimiento que se le pretende enseñar y nuevos elementos de confrontación aportados por su entorno, en el que cumplen roles relevantes sus pares y el docente…”(2)
La intervención docente:
Para conocer un sistema hay que verlo en su totalidad, por compleja que esta sea e ir buscando las regularidades que nos permitan conocer las reglas que lo rigen.
Hay que indagar qué hipótesis traen los niños sobre el sistema y sus reglas:en qué situaciones han interactuado con números y que conclusiones han sacado al respecto.
(2)Maria del Carmen Curti. El quehacer matemático en la escuela
(1)Alicia Xavier de Mello “El quehacer matemático en la escuela”
…”Los niños de 7 años han tenido muchas ocasiones de interactuar con los números de sus diversos usos sociales: números de puerta, teléfono, ómnibus, cantidad de hermanos, precios, almanaques, balanzas, juegos de azar, etc. El conocimiento espontáneo de los números se va dando a través del uso:
números para comunicar cantidades, comparar ,ordenar, contar, medir, calcular, identificar,
¿Cómo organizar todas estas informaciones?
¿Cómo lograr el establecimiento de relaciones no arbitrarias en ellas?
¿Cómo identificar los conceptos matemáticos que permiten ir construyendo?...”(1)
…”La adquisición de todo conocimiento supone un proceso de construcción intelectual, que es el resultado de la interacción entre las ideas y construcciones que el niño posee acerca del conocimiento que se le pretende enseñar y nuevos elementos de confrontación aportados por su entorno, en el que cumplen roles relevantes sus pares y el docente…”(2)
La intervención docente:
Para conocer un sistema hay que verlo en su totalidad, por compleja que esta sea e ir buscando las regularidades que nos permitan conocer las reglas que lo rigen.
Hay que indagar qué hipótesis traen los niños sobre el sistema y sus reglas:en qué situaciones han interactuado con números y que conclusiones han sacado al respecto.
(2)Maria del Carmen Curti. El quehacer matemático en la escuela
(1)Alicia Xavier de Mello “El quehacer matemático en la escuela”
Análisis de un contenido matemático
El análisis de un contenido matemático forma parte de lo que llamamos “organización del contenido a enseñar.”
Implica un estudio del contenido, y una buena formulación del objetivo, como también de todo lo referido a la apropiación por parte de los niños y sus concepciones.
Un buen análisis de posibles actividades que se van a proponer para la enseñanza del contenido, la explicación de estrategias por parte del docente, prever formas de evaluación y la elección de materiales a utilizar, fundamentan el éxito de los aprendizajes.
Las variables:
Tipo de actividad.
Se plantean actividades que impliquen acción y reflexión, observación y reconocimiento, manipulación, reproducción, de representación y comunicación.
La organización:
Tareas en pequeños grupos, individuales y colectivas.
La consigna:
Se tiene en cuenta que los alumnos:
Pongan en juego lo que saben,
Hagan explícito sus modelos mentales.
Comiencen a construir conocimientos nuevos.
Se les exija argumentar sobre las respuestas dadas.
Contenido geométrico a trabajar
1.-Forma prismática
1.1.-Forma cúbica como caso particular.
1.2.- Aristas y vértices.
Objetivo: Lograr que los alumnos identifiquen que una de las propiedades del cubo, es que todas sus aristas son iguales
Selección de las actividades
1ª actividad: Se les presenta a los niños cuerpos geométricos de forma cúbica de diferentes proporciones. Se le da al los niños un cubo por equipo que tendrán a la vista sobre su mesa y podrán manipularlo las veces que quieran.
Objetivo de la actividad: Lograr que el niño pueda reconocer una propiedad del prisma .(todas sus aristas son iguales)
Materiales: varillas de diferentes tamaños.
Plasticina ( en bolitas)
Problema : Construir el esqueleto del cuerpo elegido solicitando al docente en forma oral las varillas y bolitas de plasticina. Tienen los alumnos la posibilidad de anticipar y comprobar su validez al intentar construir el esqueleto del cubo.
En esta actividad el nudo del problema es la longitud de las varillas que el niño o niña solicita. Porque a partir de ella descubrirán la propiedad a enseñar.
Se elige construir todos el mismo cuerpo porque esto permite al docente comparar las anticipaciones.
Posibles procedimientos que utilice el alumno.
Que solicite varillas de diferente tamaño y construya otro modelo de figura.
Que pida elementos de más o de menos y no la construya.
Que no pueda a pesar de tener todos los elementos a pesar de manipular el objeto.
Que su representación mental sea la correcta y realice la actividad con éxito.
Intervención docente: Si los alumnos utilizan cualquier varilla ,se realizará una intervención didáctica para abordar las propiedades del objeto a enseñar.
Conocimientos puestos en juego:
Igualdad aristas.
Número de vértice
2ª actividad: Anticipar la cantidad de aristas y vértices que forman el cubo según el lugar de donde lo ve a distancia el alumno al objeto
Objetivo de la actividad: Lograr que el niño pueda anticipar cantidad de aristas y número de vértices que tiene el cubo.
.
Se les muestra variados cuerpos y se solicita que seleccionen el cuerpo trabajado con anterioridad ( el cubo).Luego de un tiempo ubica el prisma(cubo)sobre el escritorio del docente pero no al alcance de la mano.
Materiales: varillas de diferentes tamaños.
Plasticina ( en bolitas)
Hoja y lápiz para escribir.
Problema: Solicitar por escrito la cantidad de aristas y vértices para construir el cubo.
Variable utilizada: es la manera con que realizarán el pedido por escrito. Para eso el alumno en conjunto con sus compañeros debe ponerse de acuerda que solicitar .Al no tener el cuerpo entre sus manos y verlo desde lejos desde un lugar específico, todos deben realizar una representación mental del cuerpo.
Deben inferir las propiedades del prisma.(12aristas iguales y 8 vértices)Exigirá mayor intuición a la hora del conteo de la cantidad de aristas y vértices para la solicitud del material a pedir.
Se realizan las preguntas guía para cumplir el objetivo una vez construido el cubo.
¿Cuántas varillas necesito para construir un prisma?
¿Cómo es el tamaño de cada varilla?
¿Cuántos vértices se necesitan para armar el cuerpo?
Puedo usar más de 8 vértices? Si la respuesta es si ver si lo forman y que cuerpo queda formado.
Posibles procedimientos que utilice el alumno.
Que solicite varillas de diferente tamaño y construya otro modelo de figura.
Que pida elementos de más o de menos dado que como no tiene el prisma para manipularlo y no se ven todas las artistas o vértices y puede que dude al representarse mentalmente el objeto.
Que no pueda a pesar de tener todos los elementos a pesar de manipular el objeto.
Que su representación mental sea la correcta y realice la actividad con éxito.
Conocimientos puestos en juego:
Igualdad del tamaño de las aristas.
Cantidad de aristas
Número de vértices
3ª actividad: Confirmar la cantidad de aristas que llegan cada vértice.
Objetivo de la actividad: Lograr que el niño pueda anticipar el número de aristas que llegan a cada vértice.
Se les muestra variados cuerpos y se solicita que seleccionen el cuerpo trabajado con anterioridad ( el cubo). Después de varios minutos se esconde el objeto por lo que no está visible a la hora de escribir por escrito la solicitud del material. Trabajo colectivo de reflexión y sistematización acerca de los elementos necesarios para armar el cuerpo .
El juego es que un niño le dicte al resto de su equipo las características, nombrando número de aristas y vértices necesarios para construirlo. El resto del grupo debe verificar si es correcto o no.
Materiales: varillas de diferentes tamaños.
Plasticina ( en bolitas)
Hoja y lápiz para escribir.
Problema: Si quisieran armar un esqueleto de un cubo ¿Cuántas varillas (aristas)y bolitas de plasticina (vértices) deben solicitar? Realizar el pedido por escrito
Variable utilizada: es la manera con que realizarán el pedido por escrito. Para eso el alumno en conjunto con sus compañeros debe ponerse de acuerdo que solicitar .Al no estar el cuerpo presente todos deben realizar una representación mental del cuerpo.
Deben inferir las propiedades del prisma. Exigirá mayor intuición a la hora del conteo de la cantidad de aristas y vértices para la solicitud del material a pedir.
Se realizan las preguntas guía para cumplir el objetivo una vez construido el cubo.
¿Cuántas varillas necesito para unir con el vértice?
Si tengo 8 vértices , entonces necesito……….. aristas.
Sólo a los cuerpos regulares les llegan la misma cantidad de aristas.
Posibles procedimientos que utilice el alumno en la 3era actividad.
Que solicite varillas de diferente tamaño y construya otro modelo de figura.
Que pida elementos de más o de menos dado que como no tiene el prisma para manipularlo y no se ven todas las aritstas o vértices y puede que dude al representarse mentalmente el objeto.
Que no pueda a pesar de tener todos los elementos a pesar de manipular el objeto.
Que su representación mental sea la correcta y realice la actividad con éxito.
Conocimientos puestos en juego:
Igualdad del tamaño de las aristas.
Cantidad de aristas
Número de vértices
Número de aristas que llegan a los vértices.
Conocimiento de alguna de las propiedades del cubo.
Estas actividades son situaciones de enseñanza que permiten a los alumnos la utilización de conocimientos geométricos intuitivos como punto de partida y que provocan desafíos que favorecen la producción colectiva de conocimientos geométricos nuevos.
Estas actividades exigen que los alumnos realicen un análisis de propiedades del cuerpo geométrico a estudiar.
Implica un estudio del contenido, y una buena formulación del objetivo, como también de todo lo referido a la apropiación por parte de los niños y sus concepciones.
Un buen análisis de posibles actividades que se van a proponer para la enseñanza del contenido, la explicación de estrategias por parte del docente, prever formas de evaluación y la elección de materiales a utilizar, fundamentan el éxito de los aprendizajes.
Las variables:
Tipo de actividad.
Se plantean actividades que impliquen acción y reflexión, observación y reconocimiento, manipulación, reproducción, de representación y comunicación.
La organización:
Tareas en pequeños grupos, individuales y colectivas.
La consigna:
Se tiene en cuenta que los alumnos:
Pongan en juego lo que saben,
Hagan explícito sus modelos mentales.
Comiencen a construir conocimientos nuevos.
Se les exija argumentar sobre las respuestas dadas.
Contenido geométrico a trabajar
1.-Forma prismática
1.1.-Forma cúbica como caso particular.
1.2.- Aristas y vértices.
Objetivo: Lograr que los alumnos identifiquen que una de las propiedades del cubo, es que todas sus aristas son iguales
Selección de las actividades
1ª actividad: Se les presenta a los niños cuerpos geométricos de forma cúbica de diferentes proporciones. Se le da al los niños un cubo por equipo que tendrán a la vista sobre su mesa y podrán manipularlo las veces que quieran.
Objetivo de la actividad: Lograr que el niño pueda reconocer una propiedad del prisma .(todas sus aristas son iguales)
Materiales: varillas de diferentes tamaños.
Plasticina ( en bolitas)
Problema : Construir el esqueleto del cuerpo elegido solicitando al docente en forma oral las varillas y bolitas de plasticina. Tienen los alumnos la posibilidad de anticipar y comprobar su validez al intentar construir el esqueleto del cubo.
En esta actividad el nudo del problema es la longitud de las varillas que el niño o niña solicita. Porque a partir de ella descubrirán la propiedad a enseñar.
Se elige construir todos el mismo cuerpo porque esto permite al docente comparar las anticipaciones.
Posibles procedimientos que utilice el alumno.
Que solicite varillas de diferente tamaño y construya otro modelo de figura.
Que pida elementos de más o de menos y no la construya.
Que no pueda a pesar de tener todos los elementos a pesar de manipular el objeto.
Que su representación mental sea la correcta y realice la actividad con éxito.
Intervención docente: Si los alumnos utilizan cualquier varilla ,se realizará una intervención didáctica para abordar las propiedades del objeto a enseñar.
Conocimientos puestos en juego:
Igualdad aristas.
Número de vértice
2ª actividad: Anticipar la cantidad de aristas y vértices que forman el cubo según el lugar de donde lo ve a distancia el alumno al objeto
Objetivo de la actividad: Lograr que el niño pueda anticipar cantidad de aristas y número de vértices que tiene el cubo.
.
Se les muestra variados cuerpos y se solicita que seleccionen el cuerpo trabajado con anterioridad ( el cubo).Luego de un tiempo ubica el prisma(cubo)sobre el escritorio del docente pero no al alcance de la mano.
Materiales: varillas de diferentes tamaños.
Plasticina ( en bolitas)
Hoja y lápiz para escribir.
Problema: Solicitar por escrito la cantidad de aristas y vértices para construir el cubo.
Variable utilizada: es la manera con que realizarán el pedido por escrito. Para eso el alumno en conjunto con sus compañeros debe ponerse de acuerda que solicitar .Al no tener el cuerpo entre sus manos y verlo desde lejos desde un lugar específico, todos deben realizar una representación mental del cuerpo.
Deben inferir las propiedades del prisma.(12aristas iguales y 8 vértices)Exigirá mayor intuición a la hora del conteo de la cantidad de aristas y vértices para la solicitud del material a pedir.
Se realizan las preguntas guía para cumplir el objetivo una vez construido el cubo.
¿Cuántas varillas necesito para construir un prisma?
¿Cómo es el tamaño de cada varilla?
¿Cuántos vértices se necesitan para armar el cuerpo?
Puedo usar más de 8 vértices? Si la respuesta es si ver si lo forman y que cuerpo queda formado.
Posibles procedimientos que utilice el alumno.
Que solicite varillas de diferente tamaño y construya otro modelo de figura.
Que pida elementos de más o de menos dado que como no tiene el prisma para manipularlo y no se ven todas las artistas o vértices y puede que dude al representarse mentalmente el objeto.
Que no pueda a pesar de tener todos los elementos a pesar de manipular el objeto.
Que su representación mental sea la correcta y realice la actividad con éxito.
Conocimientos puestos en juego:
Igualdad del tamaño de las aristas.
Cantidad de aristas
Número de vértices
3ª actividad: Confirmar la cantidad de aristas que llegan cada vértice.
Objetivo de la actividad: Lograr que el niño pueda anticipar el número de aristas que llegan a cada vértice.
Se les muestra variados cuerpos y se solicita que seleccionen el cuerpo trabajado con anterioridad ( el cubo). Después de varios minutos se esconde el objeto por lo que no está visible a la hora de escribir por escrito la solicitud del material. Trabajo colectivo de reflexión y sistematización acerca de los elementos necesarios para armar el cuerpo .
El juego es que un niño le dicte al resto de su equipo las características, nombrando número de aristas y vértices necesarios para construirlo. El resto del grupo debe verificar si es correcto o no.
Materiales: varillas de diferentes tamaños.
Plasticina ( en bolitas)
Hoja y lápiz para escribir.
Problema: Si quisieran armar un esqueleto de un cubo ¿Cuántas varillas (aristas)y bolitas de plasticina (vértices) deben solicitar? Realizar el pedido por escrito
Variable utilizada: es la manera con que realizarán el pedido por escrito. Para eso el alumno en conjunto con sus compañeros debe ponerse de acuerdo que solicitar .Al no estar el cuerpo presente todos deben realizar una representación mental del cuerpo.
Deben inferir las propiedades del prisma. Exigirá mayor intuición a la hora del conteo de la cantidad de aristas y vértices para la solicitud del material a pedir.
Se realizan las preguntas guía para cumplir el objetivo una vez construido el cubo.
¿Cuántas varillas necesito para unir con el vértice?
Si tengo 8 vértices , entonces necesito……….. aristas.
Sólo a los cuerpos regulares les llegan la misma cantidad de aristas.
Posibles procedimientos que utilice el alumno en la 3era actividad.
Que solicite varillas de diferente tamaño y construya otro modelo de figura.
Que pida elementos de más o de menos dado que como no tiene el prisma para manipularlo y no se ven todas las aritstas o vértices y puede que dude al representarse mentalmente el objeto.
Que no pueda a pesar de tener todos los elementos a pesar de manipular el objeto.
Que su representación mental sea la correcta y realice la actividad con éxito.
Conocimientos puestos en juego:
Igualdad del tamaño de las aristas.
Cantidad de aristas
Número de vértices
Número de aristas que llegan a los vértices.
Conocimiento de alguna de las propiedades del cubo.
Estas actividades son situaciones de enseñanza que permiten a los alumnos la utilización de conocimientos geométricos intuitivos como punto de partida y que provocan desafíos que favorecen la producción colectiva de conocimientos geométricos nuevos.
Estas actividades exigen que los alumnos realicen un análisis de propiedades del cuerpo geométrico a estudiar.
El patio de la escuela como construcción de aprendizajes
Trabajo en el patio de la escuela.
“El patio es el primer lugar extra-muros del aula en el que los alumnos pueden comenzar a explorar, experimentar, vivenciar lo que llamaremos matemáticamente el espacio geométrico como construcción intelectual llena de relaciones y de conceptos propios…”(4)
(4) Villela,J,Steiman,J,”Patio,Parque y Pizarrón”, Ed.Espartaco,2006
“El patio es el primer lugar extra-muros del aula en el que los alumnos pueden comenzar a explorar, experimentar, vivenciar lo que llamaremos matemáticamente el espacio geométrico como construcción intelectual llena de relaciones y de conceptos propios…”(4)
(4) Villela,J,Steiman,J,”Patio,Parque y Pizarrón”, Ed.Espartaco,2006
Tizas, lápices, papeles y algo mas.
Tizas, lápices, papeles y algo mas.
“Cuando el desarrollo conceptual cobra vigencia, cuando la sistematización de lo explorado se expresa en términos geométricos mediante el fascinante y apasionante “decir del lenguaje matemático, el pizarrón del aula se torna necesario en tanto “ muestra de lo que el docente desarrolla para explicar los temas, los alumnos “muestran” para comunicar sus estrategias y así comienza a circular en el aula en forma institucionalizada,”oficializada”
(5) Villela,J,Steiman,J,”Patio,Parque y Pizarrón”, Ed.Espartaco,2006
“Cuando el desarrollo conceptual cobra vigencia, cuando la sistematización de lo explorado se expresa en términos geométricos mediante el fascinante y apasionante “decir del lenguaje matemático, el pizarrón del aula se torna necesario en tanto “ muestra de lo que el docente desarrolla para explicar los temas, los alumnos “muestran” para comunicar sus estrategias y así comienza a circular en el aula en forma institucionalizada,”oficializada”
(5) Villela,J,Steiman,J,”Patio,Parque y Pizarrón”, Ed.Espartaco,2006
Enseñanza de la geometria en primeros ciclos educativos
Marco teórico de referencia
“…La enseñanza de la geometría debe partir de la visión de la geometría como exploración y descripción del espacio real, realizando múltiples actividades que desarrollen la visualización , la intuición, la percepción, la representación, para posibilitar el pasaje del espacio real(concreto) al espacio teórico, llegando a la visión geometría como estructura lógica…” Freudenthal.(1)
La enseñanza de la Geometría tiene en la práctica escolar habitual, un lugar en cierta forma desdibujado. Esto puede deberse, entre otras causas, a los problemas que implica su enseñanza.
Los objetos geométricos son objetos ideales por lo que es necesario, en la escuela, trabajar en base a representaciones. La construcción del espacio geométrico conceptual requiere de un largo proceso en cuyo comienzo la exploración a partir de “figuras concretas” se hace indispensable. Si bien en estos primeros acercamientos hay una fuerte presencia de lo perceptivo, el desafío es generar instancias de aprendizaje que permitan avanzar desde lo meramente perceptivo a una “mirada geométrica” de las figuras. Este complejo proceso se convierte muchas veces en un obstáculo ante el cual, los contenidos son dejados de lado, o son objeto de una enseñanza que los deforma.
El Programa Escolar refiere a los contenidos geométricos a partir de los nombres de las
figuras en una presentación paso a paso que va de los objetos “más simples” ( punto, recta, plano) a los “más complejos” (polígonos). Ello añade una dificultad importante ya que esta presentación no se corresponde con el proceso de aprendizaje que un alumno de los primeros grados puede desarrollar, ni con criterios didácticos actuales.
Las prácticas habituales hacen que los contenidos se vean como un listado de nombres que surgen del reconocimiento perceptivo de las figuras. De esta forma, las propiedades de lasfiguras, centro de estudio de la Geometría, quedan relegadas dando lugar a una enseñanza
nominalista y ostensiva2 que deja de lado, entre otras cosas, la exploración de las figuras y las relaciones inter e intrafigurales. En esta presentación toma, muchas veces, un lugar predominante la definición dada por el docente pero no construida a partir de la exploración y las sucesivas y necesarias aproximaciones realizadas por los alumnos. Del mismo modo
ocupan una situación de privilegio los trazados algorítmicos que los alumnos reproducen a partir de la modelización hecha por el docente sin poner en juego las propiedades de las figuras, que los sustentan.(2)
(1)El Quehacer matemático en la escuela, Geometría en elPrimer Nivel.Fondo QUEDUCA.FUM-TEPp.p 54 58
(2) Término acuñado por Ratsimba-Rajhon, Harrisson (1977).
PROGRAMA PARA EL MEJORAMIENTO DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN ANEP
LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
Contenido: Figuras geométricas bidimensionales (triángulo- rectángulo)
Objetivo: Reconocer y clasificar figuras en triángulos y cuadriláteros.
Análisis didáctico previo de las actividades.
Se realiza un estudio referido a la apropiación por parte de los niños así como también de las concepciones de los alumnos con relación a dicho contenido.
De ahí surgen las posibles actividades y los materiales que se van a proponer para la enseñanza de dicho contenido accesible para los niños de 2do año (secuencia).
La secuencia se concreta teniendo en cuenta la planificación de actividades organizándolas a partir de la observación y reconocimiento de las figuras pasando por la manipulación para poder en evidencia los elementos y las propiedades de las mismas, la representación, haciendo uso de esos conocimientos y promoviendo y describiendo figuras geométricas.
Se planifica varias etapas y en cada una de ellas se pretende estimular el razonamiento y la argumentación valorando el proceso de construcción de los conceptos matemáticos involucrados.
Actividad inicial:
1ª etapa:
Se trabaja en el patio de la escuela (uso del espacio físico),
con los niños organizados en equipos de 3 y de 4 integrantes.
Se les da una cuerda anudada y la primera consigna es
que estiren la cuerda.
Surgen formas y figuras con tres lados y cuatro lados.
Los alumnos observan y luego expresan:
-“Si somos tres la cuerda se reparte en tres”
-Si estiramos bien la cuerda, (dice el grupo de cuatro niños)
quedan cuatro piolas”
Con tiza un delegado debe marcar en el piso la figura
que quedó formada.
2ª etapa:
Dibujar en una hoja de garbanzo la figura que formaron.
Se observan muchas percepciones diferentes sobre
las figuras trazadas. Cada grupo debe compartir la hoja
. Por lo que existen diferencias entre ellos sobre la figura
a representar.
“…Problematizar la enseñanza de la Geometría implica, entre otras cosas,
promover la construcción de conocimiento por parte de los alumnos, así como cuestionar conocimientos que los alumnos ya tienen…”
3ª etapa:
Se trabaja en el aula. Y se realiza una socialización completando en el pizarrón el siguiente cuadro de doble entrada: Se observaron: semejanzas, diferencias y un primer intento de clasificarlas según los lados.
Forman figuras de 3 lados Forman figuras de 4 lados
Equipo A (tres niños)
Equipo B (cuatro niños)
“…Esta actividad permite no sólo poner en juego propiedades para poder identificar la figura sino que, además, aquellas figuras que se van descartando pueden integrarse a una clase en virtud de la propiedad que no cumplen, mientras que las que se mantienen lo hacen en función de una propiedad que sí cumplen.
Aparece entonces la clasificación como una manera de formar clases a partir de laspropiedades de las figuras….” CUADERNOS DE ESTUDIO 58
PROGRAMA PARA EL MEJORAMIENTO DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN ANEP
Intervención docente:
Planteo de preguntas para guiar en la identificación de figuras.
Variable: Forma de presentar las figuras.
Material: Concreto. Figuras recortadas de 3 y 4 y más
lados para que manipularan en sus bancos con los
compañeros de grupos.
Se les pidió que descubrieran en que lugar se
pondría el niño y a que le llamábamos “ cuerda” .
6 niños dijeron que estarían en” la puntita” No recordaron
la palabra “ vértice”,
Descubrieron que a mayor cantidad de niños, mayor
cantidad de “lados”.
Variable:
Uso de palitos para observarlas características de los rectángulos y triángulos. ( Utilizaron imitando la figura demuestra 2 largos y dos cortos para construir el rectángulo. Pero para el triángulo todos los construyeron equiláteros)
4ª etapa:
Se realiza descripción de las figuras y se comunicó y compartió todo el grupo.
Se destaca el aporte de los alumnos que son repetidores, pues manejaban un vocabulario de la asignatura y se lo comunicaban a sus otros compañeros.
5ª etapa:
Entrega de la propuesta con una consigna a cada niño y niña y se parte del trazado a mano alzada.
“…La consigna o una forma de plantear el problema es una variable didáctica sobre la cual debemos reflexionar. Debe ser propuesta de manera que el alumno produzca sus conocimientos como respuesta y los haga funcionar por exigencia de la situación…” Alicia Xavier de Mello
Nombre: …………………………… Clase:……………………………
Consigna :
Observa esta figura.
Dibújala.
Observaciones:
Algunos niños comenzaron por el triángulo.
Otros comenzaron por el rectángulo.
Destaco cómo ellos tuvieron distinta percepción ( figura fondo)
La intervención docente:
Se dio a través de la organización del trabajo y con el apoyo de preguntas guía e introduciendo un vocabulario específico:
¿Qué figuras ven?
¿Cuántas figuras ven?
Hubo respuestas variadas.
Unos dijeron que había 1, otros 2 y otros niños contaron 3.
¿Cómo son esas figuras? ¿Iguales o diferentes?
Dijeron que diferentes . Detectaron enseguida la diferencia. Una tenía más lados (el rectángulo) –Pregunté ¿Por qué? Y me dijo que había contado los “ lados”
Comienza la actividad de comunicación.
Se comenzó a exigir mediante la comparación las propiedades.
3 lados = triángulos. Se habla de diferencias
4 lados = rectángulos. Entre ambas figuras.
Se les pregunta:
¿Cuántos triángulos ves en la figura que dibujaste?
¿Cuántos rectángulos?
¿Cuántos triángulos hay dentro del rectángulo?
¿Todos los triángulos son iguales?
Acá muchos niños no pudieron darse cuenta. Pero tres niños del resto del grupo supieron trazar un segmento para dividir el triángulo”grande”
Un niño comunicó a todos : “Si paso una raya acá en el medio, quedan cuatro triángulos iguales” (tenía noción de simetría ,porque al cuestionarle yo po que así,me contestó que si lo hacía horizontal la rayita no eran partes iguales.)
En la última etapa: Uso del criterio particional)
Se vuelve al material concreto y se les pide a los alumnos que agrupen las figuras según la cantidad de lados.
No se observa dificultad en esta tarea.
Puesta en común:
Resignificado de las propiedades enseñadas .Los alumnos comunican a sus compañeros los caminos seguidos. Reanaliza grupalmente. Es importante porque cada niño comparte la estrategias utilizadas. Los niveles de resolución fueron los esperados.
Institucionalización de conocimientos:
Se utiliza el lenguaje matemático que sin dudas serán punto de partida para próximas adquisiciones.
“Todas las figuras que tengan 3 lados se llaman: “triángulos”.
“Todas las figuras que tengan 4 lados se llaman “ rectángulos”
Indicadores utilizados para ver si el objetivo se cumple:
• Identifica figuras geométricas
• Nombra y reconoce alguna característica de las figuras
• Representa figuras geométricas
• Comunica alguna propiedad de la figura.
Reflexión final.
“…Comenzar jugando, aceptando los términos que los niños usan para nombrar las figuras, promoviendo la discusión y ayudando a encontrar formas de resolver las dudas, permite que los niños vayan percibiendo propiedades de las figuras; experimentar en el espacio físico es necesario para construir el espacio geométrico…” (3)
Como docente, destaco que me sorprende mucho y que dudé si era adecuada o no la tarea para el grupo.
Después de comentarlo con otros docentes, y pensar si era pertinente o no, intenté presentar la misma actividad proporcionada en el curso de Matemática e ir viendo sobre la marcha, cuántas cosas se podían trabajar a partir de esta propuesta.
Sé, que al principio subestimé a mis alumnos , porque me demostraron que sabían mucho más de lo que yo pensaba.
Puse fundamental atención en esta tarea a formular un objetivo acorde al nivel. Me llevó tiempo pensarlo .Pero luego, paso a paso al tener claro el contenido y el objetivo a enseñarlas cosas se fueron dando tal cual las había planificado con un plus de asombro al observar las respuestas de algunos alumnos que me sorprendieron.
Curti,Mª del Carmen, Quehacer Educativo “Geometría con Cuerdas”pp.33-34
Bibliografía
B. y Xavier de Mello, A. (comps) El Quehacer Matemático en la escuela. Fondo Editorial Queduca. Montevideo
Chamorro, Mª del carmen,”Didáctica de las matemáticas ,Cap 2.
Fripp, A; Rodríguez, B. (2005) – Trazados sí... pero... ¿cómo?...y, ¿para qué? .,en RodríguezRava,Beatriz.
Curti,Mª del Carmen, Quehacer Educativo “Geometría con Cuerdas”pp.33-34
“…La enseñanza de la geometría debe partir de la visión de la geometría como exploración y descripción del espacio real, realizando múltiples actividades que desarrollen la visualización , la intuición, la percepción, la representación, para posibilitar el pasaje del espacio real(concreto) al espacio teórico, llegando a la visión geometría como estructura lógica…” Freudenthal.(1)
La enseñanza de la Geometría tiene en la práctica escolar habitual, un lugar en cierta forma desdibujado. Esto puede deberse, entre otras causas, a los problemas que implica su enseñanza.
Los objetos geométricos son objetos ideales por lo que es necesario, en la escuela, trabajar en base a representaciones. La construcción del espacio geométrico conceptual requiere de un largo proceso en cuyo comienzo la exploración a partir de “figuras concretas” se hace indispensable. Si bien en estos primeros acercamientos hay una fuerte presencia de lo perceptivo, el desafío es generar instancias de aprendizaje que permitan avanzar desde lo meramente perceptivo a una “mirada geométrica” de las figuras. Este complejo proceso se convierte muchas veces en un obstáculo ante el cual, los contenidos son dejados de lado, o son objeto de una enseñanza que los deforma.
El Programa Escolar refiere a los contenidos geométricos a partir de los nombres de las
figuras en una presentación paso a paso que va de los objetos “más simples” ( punto, recta, plano) a los “más complejos” (polígonos). Ello añade una dificultad importante ya que esta presentación no se corresponde con el proceso de aprendizaje que un alumno de los primeros grados puede desarrollar, ni con criterios didácticos actuales.
Las prácticas habituales hacen que los contenidos se vean como un listado de nombres que surgen del reconocimiento perceptivo de las figuras. De esta forma, las propiedades de lasfiguras, centro de estudio de la Geometría, quedan relegadas dando lugar a una enseñanza
nominalista y ostensiva2 que deja de lado, entre otras cosas, la exploración de las figuras y las relaciones inter e intrafigurales. En esta presentación toma, muchas veces, un lugar predominante la definición dada por el docente pero no construida a partir de la exploración y las sucesivas y necesarias aproximaciones realizadas por los alumnos. Del mismo modo
ocupan una situación de privilegio los trazados algorítmicos que los alumnos reproducen a partir de la modelización hecha por el docente sin poner en juego las propiedades de las figuras, que los sustentan.(2)
(1)El Quehacer matemático en la escuela, Geometría en elPrimer Nivel.Fondo QUEDUCA.FUM-TEPp.p 54 58
(2) Término acuñado por Ratsimba-Rajhon, Harrisson (1977).
PROGRAMA PARA EL MEJORAMIENTO DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN ANEP
LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
Contenido: Figuras geométricas bidimensionales (triángulo- rectángulo)
Objetivo: Reconocer y clasificar figuras en triángulos y cuadriláteros.
Análisis didáctico previo de las actividades.
Se realiza un estudio referido a la apropiación por parte de los niños así como también de las concepciones de los alumnos con relación a dicho contenido.
De ahí surgen las posibles actividades y los materiales que se van a proponer para la enseñanza de dicho contenido accesible para los niños de 2do año (secuencia).
La secuencia se concreta teniendo en cuenta la planificación de actividades organizándolas a partir de la observación y reconocimiento de las figuras pasando por la manipulación para poder en evidencia los elementos y las propiedades de las mismas, la representación, haciendo uso de esos conocimientos y promoviendo y describiendo figuras geométricas.
Se planifica varias etapas y en cada una de ellas se pretende estimular el razonamiento y la argumentación valorando el proceso de construcción de los conceptos matemáticos involucrados.
Actividad inicial:
1ª etapa:
Se trabaja en el patio de la escuela (uso del espacio físico),
con los niños organizados en equipos de 3 y de 4 integrantes.
Se les da una cuerda anudada y la primera consigna es
que estiren la cuerda.
Surgen formas y figuras con tres lados y cuatro lados.
Los alumnos observan y luego expresan:
-“Si somos tres la cuerda se reparte en tres”
-Si estiramos bien la cuerda, (dice el grupo de cuatro niños)
quedan cuatro piolas”
Con tiza un delegado debe marcar en el piso la figura
que quedó formada.
2ª etapa:
Dibujar en una hoja de garbanzo la figura que formaron.
Se observan muchas percepciones diferentes sobre
las figuras trazadas. Cada grupo debe compartir la hoja
. Por lo que existen diferencias entre ellos sobre la figura
a representar.
“…Problematizar la enseñanza de la Geometría implica, entre otras cosas,
promover la construcción de conocimiento por parte de los alumnos, así como cuestionar conocimientos que los alumnos ya tienen…”
3ª etapa:
Se trabaja en el aula. Y se realiza una socialización completando en el pizarrón el siguiente cuadro de doble entrada: Se observaron: semejanzas, diferencias y un primer intento de clasificarlas según los lados.
Forman figuras de 3 lados Forman figuras de 4 lados
Equipo A (tres niños)
Equipo B (cuatro niños)
“…Esta actividad permite no sólo poner en juego propiedades para poder identificar la figura sino que, además, aquellas figuras que se van descartando pueden integrarse a una clase en virtud de la propiedad que no cumplen, mientras que las que se mantienen lo hacen en función de una propiedad que sí cumplen.
Aparece entonces la clasificación como una manera de formar clases a partir de laspropiedades de las figuras….” CUADERNOS DE ESTUDIO 58
PROGRAMA PARA EL MEJORAMIENTO DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN ANEP
Intervención docente:
Planteo de preguntas para guiar en la identificación de figuras.
Variable: Forma de presentar las figuras.
Material: Concreto. Figuras recortadas de 3 y 4 y más
lados para que manipularan en sus bancos con los
compañeros de grupos.
Se les pidió que descubrieran en que lugar se
pondría el niño y a que le llamábamos “ cuerda” .
6 niños dijeron que estarían en” la puntita” No recordaron
la palabra “ vértice”,
Descubrieron que a mayor cantidad de niños, mayor
cantidad de “lados”.
Variable:
Uso de palitos para observarlas características de los rectángulos y triángulos. ( Utilizaron imitando la figura demuestra 2 largos y dos cortos para construir el rectángulo. Pero para el triángulo todos los construyeron equiláteros)
4ª etapa:
Se realiza descripción de las figuras y se comunicó y compartió todo el grupo.
Se destaca el aporte de los alumnos que son repetidores, pues manejaban un vocabulario de la asignatura y se lo comunicaban a sus otros compañeros.
5ª etapa:
Entrega de la propuesta con una consigna a cada niño y niña y se parte del trazado a mano alzada.
“…La consigna o una forma de plantear el problema es una variable didáctica sobre la cual debemos reflexionar. Debe ser propuesta de manera que el alumno produzca sus conocimientos como respuesta y los haga funcionar por exigencia de la situación…” Alicia Xavier de Mello
Nombre: …………………………… Clase:……………………………
Consigna :
Observa esta figura.
Dibújala.
Observaciones:
Algunos niños comenzaron por el triángulo.
Otros comenzaron por el rectángulo.
Destaco cómo ellos tuvieron distinta percepción ( figura fondo)
La intervención docente:
Se dio a través de la organización del trabajo y con el apoyo de preguntas guía e introduciendo un vocabulario específico:
¿Qué figuras ven?
¿Cuántas figuras ven?
Hubo respuestas variadas.
Unos dijeron que había 1, otros 2 y otros niños contaron 3.
¿Cómo son esas figuras? ¿Iguales o diferentes?
Dijeron que diferentes . Detectaron enseguida la diferencia. Una tenía más lados (el rectángulo) –Pregunté ¿Por qué? Y me dijo que había contado los “ lados”
Comienza la actividad de comunicación.
Se comenzó a exigir mediante la comparación las propiedades.
3 lados = triángulos. Se habla de diferencias
4 lados = rectángulos. Entre ambas figuras.
Se les pregunta:
¿Cuántos triángulos ves en la figura que dibujaste?
¿Cuántos rectángulos?
¿Cuántos triángulos hay dentro del rectángulo?
¿Todos los triángulos son iguales?
Acá muchos niños no pudieron darse cuenta. Pero tres niños del resto del grupo supieron trazar un segmento para dividir el triángulo”grande”
Un niño comunicó a todos : “Si paso una raya acá en el medio, quedan cuatro triángulos iguales” (tenía noción de simetría ,porque al cuestionarle yo po que así,me contestó que si lo hacía horizontal la rayita no eran partes iguales.)
En la última etapa: Uso del criterio particional)
Se vuelve al material concreto y se les pide a los alumnos que agrupen las figuras según la cantidad de lados.
No se observa dificultad en esta tarea.
Puesta en común:
Resignificado de las propiedades enseñadas .Los alumnos comunican a sus compañeros los caminos seguidos. Reanaliza grupalmente. Es importante porque cada niño comparte la estrategias utilizadas. Los niveles de resolución fueron los esperados.
Institucionalización de conocimientos:
Se utiliza el lenguaje matemático que sin dudas serán punto de partida para próximas adquisiciones.
“Todas las figuras que tengan 3 lados se llaman: “triángulos”.
“Todas las figuras que tengan 4 lados se llaman “ rectángulos”
Indicadores utilizados para ver si el objetivo se cumple:
• Identifica figuras geométricas
• Nombra y reconoce alguna característica de las figuras
• Representa figuras geométricas
• Comunica alguna propiedad de la figura.
Reflexión final.
“…Comenzar jugando, aceptando los términos que los niños usan para nombrar las figuras, promoviendo la discusión y ayudando a encontrar formas de resolver las dudas, permite que los niños vayan percibiendo propiedades de las figuras; experimentar en el espacio físico es necesario para construir el espacio geométrico…” (3)
Como docente, destaco que me sorprende mucho y que dudé si era adecuada o no la tarea para el grupo.
Después de comentarlo con otros docentes, y pensar si era pertinente o no, intenté presentar la misma actividad proporcionada en el curso de Matemática e ir viendo sobre la marcha, cuántas cosas se podían trabajar a partir de esta propuesta.
Sé, que al principio subestimé a mis alumnos , porque me demostraron que sabían mucho más de lo que yo pensaba.
Puse fundamental atención en esta tarea a formular un objetivo acorde al nivel. Me llevó tiempo pensarlo .Pero luego, paso a paso al tener claro el contenido y el objetivo a enseñarlas cosas se fueron dando tal cual las había planificado con un plus de asombro al observar las respuestas de algunos alumnos que me sorprendieron.
Curti,Mª del Carmen, Quehacer Educativo “Geometría con Cuerdas”pp.33-34
Bibliografía
B. y Xavier de Mello, A. (comps) El Quehacer Matemático en la escuela. Fondo Editorial Queduca. Montevideo
Chamorro, Mª del carmen,”Didáctica de las matemáticas ,Cap 2.
Fripp, A; Rodríguez, B. (2005) – Trazados sí... pero... ¿cómo?...y, ¿para qué? .,en RodríguezRava,Beatriz.
Curti,Mª del Carmen, Quehacer Educativo “Geometría con Cuerdas”pp.33-34
Enseñanza de la división .Matemática escolar.
Contenido: DIVISIÓN
Fundamentación. Por qué elegimos este contenido.
*Está presente en todo el ciclo escolar.
*Es la operación que suele presentar más rechazo o dificultades en los niños y más ansiedad en los padres.
*Aparece con una gran riqueza para desarrollar todos los aspectos a trabajar en una operación.
Dificultades y enfoque de la enseñanza aprendizaje de la división
“En el momento de abordar el eje Operaciones en la escuela primaria, son variados los problemas a los cuales el maestro se tiene que enfrentar. Ocupa un lugar importante el relativo a la enseñanza de la división. Los docentes destacan que a los alumnos se les dificulta reconocer que un problema se resuelve con esta operación si no aparecen indicadores del tipo “repartir”, y que en aquellas consignas donde figura dicha palabra, los alumnos suelen dividir aunque esta operación no resuelva la situación. Surgen también dificultades al momento de enseñar el algoritmo convencional, el cual es muy costoso para alumnos y maestro en cuanto a la relación tiempo-aprendizaje”. Con estas palabras de Ariel Fripp en “Un aporte a la enseñanza de la matemática: reflexiones en torno a la división como objeto de estudio”, publicado en el Quehacer Educativo, Nº 86, FUM/TEP, Montevideo, 2007, no debe haber maestra que no se sienta identificada, especialmente las de sexto año, cuyos alumnos siguen viéndola todavía como ”la operación inaccesible”, debiendo dedicar horas de la jornada escolar a enseñarla.
Una de las dificultades, como señala Plunkett (1979), surge de que muchas veces se identifica concepto con algoritmo y, por ejemplo, para enseñar la división se enseña un método, pero no una “idea”; no se enseña el concepto de dividir, que va a guiar, a la hora de hacer los cálculos, con más fidelidad que la aplicación ciega de reglas memorizadas. Los niños llegan a realizar las operaciones de manera mecánica, automática, sin referencia de contexto ni de situación. Es preferible que las operaciones –y por lo tanto la división– se aprendan en el marco de las situaciones que se producen, insertas en ellas y no de manera aislada.
Es todo esto lo que nos conduce a considerar la división como objeto de estudio, convencidas de que comprender la división como operación es más que “saber hacer la cuenta” ¡y esto ya cuesta bastante!
Se hace necesario promover distintas situaciones de manera que los alumnos aborden la división desde sus distintos significados; debemos acercar al alumno al concepto de división, de manera que pueda entender verdaderamente su significado. Es también esperable que se generen actividades donde la relación Dividendo-divisor-cociente-resto sea problematizada, analizando los términos de la división, pudiendo constatar la dependencia que existe entre el resto y del divisor. Es fundamental trabajar la matemática, y en este caso en particular la división, desde la reflexión. No es lo mismo saber dividir que saber hacer divisiones. En Operaciones con números naturales, Editorial Acción Educativa, Madrid, 1984, Ferrero, L afirma que saber dividir implica un conocimiento conceptual, mientras que se pueden hacer divisiones con un mero conocimiento procedimiental.
Por su parte Maza, C., en Enseñanza de la suma y de la resta, Editorial Síntesis, Madrid, 1991, señala que si el algoritmo se enseña atendiendo a la comprensión conceptual del procedimiento seguido se recuerda mejor su realización, se aumenta su capacidad de transferencia y la capacidad de reducir y corregir el número de errores que se cometen. Por eso es importante ahondar en la comprensión de lo que se hace.
En Una nueva didáctica del cálculo para el siglo XXI, CissPraxis, Barcelona, 2000, Jaime Martínez Montero propone una forma sencilla y cercana de aprender división, y para eso sugiere pautas para que, al menos las dificultades más evidentes, se puedan superar. Es así que plantea que la operación tiene que cumplir ciertos principios:
a) El dividendo y el divisor deben ser números con claros referentes (el dinero, por ejemplo, que es fácil de simular con materiales sencillos y al alcance de todos, y además permite entender la equivalencia y el cambio de unidades).
b) La división no se debe hacer “de una vez”. Son repartos que están ligados, pero que son distintos; es necesario que cada uno de ellos se acabe, para saber lo que queda y poder seguir adelante.
c) El dividendo recibe un tratamiento integral, es considerado siempre como un número con sentido.
Aspectos:
*Significados
*Relaciones con otras operaciones
*Relaciones con el sistema de numeración decimal
*Propiedades
*Relaciones entre las propiedades
*Cálculo
*Algoritmos
*Resignificaciones en los diferentes conjuntos numéricos
*Notación
Significados
Agrupamiento y reparto
En un contexto de proporcionalidad
Siguiendo a Beatriz Rodríguez Rava en su trabajo “De las operaciones… ¿qué podemos enseñar?” publicado en El quehacer matemático en la escuela, Fondo Editorial Queduca, Montevideo, 2005, valoramos que operaciones es un contenido presente en todo el ciclo escolar con una gran riqueza de aspectos a ser trabajados.
Al egresar de la escuela, habiendo trabajado en diferentes conjuntos numéricos, los niños han de tener competencia operatoria y comprensión de las operaciones.
Competencia significa más que técnica de cálculo y algoritmo; implica saber manejar los conceptos y las relaciones que una operación representa. Las preguntas “tengo que hacer una de por?, ¿es esta la cuenta?, ¿es de menos?” deberían haber sido superadas al entrar al liceo.
Muchas veces pensamos que un alumno es bueno en matemática porque pasa al pizarrón y resuelve el algoritmo rápidamente, incluso explicando el mecanismo que él usa para lograrlo. Los padres también esperan de sus hijos esta destreza. Si bien el algoritmo es una trasmisión cultural a respetar, de nada sirve si no se domina la operación que está contenida o escondida en él.
Es importante considerar además la variación de contextos al trabajar las operaciones. Los alumnos suelen manejar como un cliché que la “cuenta de menos“ se hace cuando la pregunta es “¿cuánto gastó? Los contextos cotidianos son útiles, pero también pueden ser lúdicos, y pueden y deben ser intramatemáticos sin necesidad de recurrir a situaciones forzadas y fácilmente esterotipables.
Trabajar la división como reparto es interesante. Cuando se reparte, el divisor pertenece a un espacio de medida diferente del divisor, mientras que el cociente pertenece al mismo espacio que el dividendo y el resto también. Si prestamos atención al resto, éste, que también es del mismo espacio que el dividendo y el cociente, en la situación de reparto permite cambiar de conjunto numérico: si es posible, se puede pasar a los números decimales.
Ese “si es posible” es clave para saber si el alumno está entendiendo el significado de la operación. Si se trata de repartir niños en mesas no puede trabajar con decimales, pero si se trata de repartir cilindros de plasticina, sí. Es muy importante al trabajar la división como reparto enseñar a controlar el resto.
En la división como agrupamiento el dividendo y el divisor son del mismo espacio de medida; y el cociente es de otro. Ejemplo: rueditas para construir autitos.
En las situaciones problema, ya sea de la vida cotidiana, lúdicas o matemáticas el docente debe manejar el lugar de la incógnita al variar los significados. También es importante que los alumnos hagan este proceso, proponiéndoles que inventen enunciados a partir de ciertas operaciones, o que completen datos.
Relación de la división con otras operaciones
Para evidenciar y experimentar la relación de la división, por ejemplo con la resta, es importante permitir y promover el desarrollo de algoritmos artesanales, de estrategias propias en situaciones de agrupamiento y reparto, porque la propia construcción del concepto de división implica la relación con la resta, y el algoritmo convencional también la incluye. Un “buen alumno” ha de saber responder, a partir de tercer año, por qué resta al hacer el algoritmo convencional.
Si dejamos entrar la matemática a la escuela en el sentido en que lo dicen David Block y Martha Dávila en el trabajo “La matemática expulsada de la escuela” publicado en Educación Matemática 3, Vol 5, México, 1993, como matemática informal, permitiremos a los alumnos construir su propio concepto de la división en su relación con las otras operaciones.
El niño construye o descubre el sentido de repartir mediante restas sucesivas, hasta no quedarse con nada o con muy poco, intentando la división exacta y exhaustiva.
La intervención docente debe problematizar el algoritmo si éste ya está aprendido mecánicamente, o ayudar a construirlo comprensivamente. Los padres de los alumnos también aprendieron en la escuela el lenguaje formal y las reglas sintácticas de la matemática tal como lo definen Block y Dávila. Pero pueden recibir bien esta nueva visión que legitima los procedimientos informales, los esfuerzos artesanales por pensar matemáticamente, por buscar soluciones a los problemas, por inventar procedimientos de solución. Es necesario valorar los algoritmos que los alumnos sean capaces de crear para llegar al uso flexible de algoritmos tradicionales; es importante flexibilizar algo tan rígido como el algoritmo tradicional de la división.
Se trata de ir de la matemática de las personas a la matemática formal. Este camino tiende a enriquecer los procesos mentales de cada niño, que además sirven de dispositivos didácticos para los docentes.
La relación de la división con la multiplicación es tan evidente, que muchas veces, si preguntamos por la argumentación de una respuesta correcta en una situación de agrupamiento, por ejemplo, el niño contesta que multiplicó. Si manejamos el enfoque de las estructuras multiplicativas estas respuestas lejos de deprimirnos deben alegrarnos, porque significa que el niño está inmerso en pleno proceso constructivo, está poniendo en juego conocimientos adquiridos y los está usando con pertinencia.
Relaciones con el sistema de numeración decimal
La división entre 10 y con decimales dan cuenta de las relaciones de la división con el sistema de numeración decimal (SND).
Esos pequeños “trucos” institucionalizados por la familia, que pasan de generación en generación pueden ser problematizados para producir avances conceptuales. Ejemplos: para dividir entre 10 números terminados en 0, ”le saco el 0”, dicen los niños. La intervención docente debe apuntar a rever el valor posicional y la base 10 de nuestro sistema como recursos subyacentes.
Si el dividendo termina en cifra diferente de 0, “le pongo coma” o, “le corro la coma” son las respuestas más frecuentes. Pero hay que explicar por qué, y eso se explica por las características del SND.
Lo mismo sucede cuando” le agrego un cero al resto” y “pongo la coma” (en el divisor). Agregar el 0 es transformar, por ejemplo, 4 en 40 décimos, para así seguir dividiendo. Pero esto dicho así hay que enseñarlo.
Propiedades
Invarianza del cociente
El cociente no varía cuando varían el dividendo y el divisor, pero la relación entre ellos es la misma porque fueron multiplicados por el mismo número.
(35 % 7 = 5 y 70 % 14 = 5). Si multiplicamos dividendo y divisor por el mismo número, el cociente no varía. El divisor siempre está contenido 5 veces. Un caso especial es la división entre 10 (35 % 7 = 5 y 350 % 70 = 5 y 3,50 % 0,7= 5).
Estaríamos trabajando también junto con la propiedad de invarianza la relación con el SND y la resignificación en otro conjunto numérico. En los decimales la división la división no “achica” (3,50 % 0.7 = 5). Esta propiedad se pone en juego en los repertorios de cálculo: 120 % 40 = 3 porque 12 % 4 = 3.
Cálculo
Como dicen Cecilia Parra en el capítulo VII, “Cálculo mental en la escuela primaria”, del libro Didáctica de matemáticas: aportes y reflexiones, Cecilia Parra e Irma Saiz (comps), Editorial Paidós Educador, Buenos Aires, 2005, el cálculo se apoya en las propiedades del sistema de numeración decimal y en las propiedades de las operaciones, y pone en juego diferentes tipos de escritura de los números, así como diversas relaciones entre ellos.
Adhiriendo a la concepción de que calcular es ante todo prescindir de las colecciones de objetos, implicando repertorios (operaciones memorizadas), poniendo en juego las propiedades de las operaciones y el conocimiento del SND, toda actividad de cálculo de hecho evalúa avances conceptuales en cada grado.
En cuanto a los repertorios, de cada grado y de la escuela los niños han de salir con un cierto repertorio memorizado. Los juegos de cartas, de casilleros, de dados, y muchas situaciones de la vida cotidiana ayudan mucho, pero la intervención docente debe promover las actividades de cálculo, tanto exacto como aproximado. En ese sentido, si promovemos las estrategias artesanales estamos haciendo cálculo, ya que éste no es el algoritmo imaginado, “en la cabeza”, sino que supone métodos alternativos a los escritos.
Para el cálculo exacto los niños pueden usar lápiz y papel y calculadora, dependiendo de la situación. Con el cálculo aproximado también.
La calculadora es una excelente apoyatura para cálculo y para poner en en juego conocimientos y su relación con el SND.
Los padres se sorprenden o no ven con buenos ojos que no sólo permitamos sino que promovamos el uso de la calculadora.
El asunto es cuando y para qué. En general los niños usan la calculadora para evadir el algoritmo y para corroborar resultados. Pero puede servir para descubrir propiedades (invarianza de la división) o para ver las relaciones entre conjuntos numéricos como la división de un número natural por otro natural da un número racional.
Algoritmo
Si bien la enseñanza del algoritmo no debe ser apresurada y es necesario demorarlo, para que el niño construya todos los aspectos de la operación es importante manejar la relación entre sus términos.
El algoritmo de la división es muy difícil porque es hermético, poco transparente. Sin embargo, cualquier escolar es capaz de dividir, desde el momento que puede repartir y agrupar, algo que los niños siempre buscan hacer siempre en forma justa y equitativa.
La relación entre los términos es muy importante en la división y es de primordial importancia el control del resto. Proponer actividades donde los alumnos deban anticipar el resultado previendo que el cociente no puede ser mayor que el dividendo o tener más cifras que el dividendo, que el resto no puede ser mayor que el divisor, etc, es una manera de trabajar el algoritmo.
Lo mismo sucede con las variaciones: ¿qué pasa con el cociente y el resto si varío el dividendo? (24 % 3 = 8 y 25 % 3 = 8 con resto 1, etc.). Se puede descubrir regularidades.
Resignificaciones en los diferentes conjuntos numéricos
Resignificar la división al cambiar de conjunto numérico, en especial, cuando pasamos a trabajar con números racionales, no naturales. Se debe pensar y cuestionar ideas que se han fijado en los niños, como por ejemplo, que la multiplicación siempre “agranda” y la división “achica”, que siempre se debe dividir el número “más largo” por el “más corto”.
Notación
Un elemento importante es resignificar el signo = en la división.
Los niños escriben y todos aceptamos: 25 % 3 = 8 y esto no es así; en rigor deberíamos decir 25 % 3 tiene como cociente 8 y resto 1. O por lo menos, decir 25 % 3 = 8 con resto 1.
(Todo esto no es posible verlo con una calculadora.)
Consideraciones finales
Viendo cómo trabajar cualquier aspecto de la división pone en juego los conocimientos sobre los otros aspectos, y sabiendo que operaciones y numeración han de trabajarse juntos, es muy importante la planificación de las actividades. Los números adquieren sentido y ganan potencialidad en la medida en que entran en las operaciones, combinándose entre sí de diversas maneras. Del mismo modo, a través de las operaciones los niños entran en el mundo de los números. Al planificar las actividades relativas a la enseñanza de la división es muy importante determinar bien el objetivo-contenido de cada actividad, y es muy importante la gestión de la puesta en común, para que la institucionalización sea coherente con el objetivo. La puesta en común es el espacio didáctico de enseñanza y aprendizaje. En este caso el saber específico es la división. Las discusiones deben centrarse en el aspecto de ella elegido. Para que se produzcan avances conceptuales es necesario promover intercambios, exigir argumentaciones, problematizar, relacionar y descubrir regularidades.
Bibliografía
Belmonte Gómez, Juan Miguel, “Las relaciones multiplicativas: el cálculo multiplicativo y de división. Cálculo mental y con calculadora”. En Chamorro, Mª del Carmen, (coordinadora), Didáctica de las matemáticas, Pearson Prentice Hall, Madrid, 2006.
Block, David; Dávila, Martha, “La matemática expulsada de la escuela”. En La enseñanza de la matemática en la escuela primaria, SEP, México, 1995.
Chemello, Graciela, “El cálculo en la escuela: ¿las cuentas son un problema?” En Iaies, Gustavo (comp.), Los CBC y la enseñanza de la matemática, Editorial AZ, Buenos Aires, 1998.
Ferrero, L., Operaciones con números naturales, Editorial Acción Educativa, Madrid, 1984.
Fripp, Ariel, “Un aporte a la enseñanza de la matemática: reflexiones en torno a la división como objeto de estudio”. En Quehacer Educativo, Nº 86, FUM/TEP, Montevideo, 2007.
Martínez Montero, Jaime, Una nueva didáctica del cálculo para el siglo XXI, CissPraxis, Barcelona, 2000.
Martínez, Patricia; Moreno, Eva, “Aprendiendo a dividir”. En Revista Básica, Nº 11, Fundación SNT, México, 1996.
Maza, C., Enseñanza de la suma y de la resta, Madrid, Editorial Síntesis, 1991.
Parra, Cecilia, “Cálculo mental en la escuela primaria”. En Didáctica de matemáticas: aportes y reflexiones, Cecilia Parra e Irma Saiz (comps), Editorial Paidós Educador, Buenos Aires, 2005.
Pazos, Liliana, “Vamos a hacer unas cuentas”. En Rodríguez Rava, Beatriz; Xavier de Mello, Alicia (comps.) El quehacer matemático en la escuela, Fondo Editorial Queduca, Montevideo, 2005.
Rodríguez Rava, Beatriz, “De las operaciones… ¿qué podemos enseñar?” En Rodríguez Rava, Beatriz; Xavier de Mello, Alicia (comps.) El quehacer matemático en la escuela, Fondo Editorial Queduca, Montevideo, 2005.
Fundamentación. Por qué elegimos este contenido.
*Está presente en todo el ciclo escolar.
*Es la operación que suele presentar más rechazo o dificultades en los niños y más ansiedad en los padres.
*Aparece con una gran riqueza para desarrollar todos los aspectos a trabajar en una operación.
Dificultades y enfoque de la enseñanza aprendizaje de la división
“En el momento de abordar el eje Operaciones en la escuela primaria, son variados los problemas a los cuales el maestro se tiene que enfrentar. Ocupa un lugar importante el relativo a la enseñanza de la división. Los docentes destacan que a los alumnos se les dificulta reconocer que un problema se resuelve con esta operación si no aparecen indicadores del tipo “repartir”, y que en aquellas consignas donde figura dicha palabra, los alumnos suelen dividir aunque esta operación no resuelva la situación. Surgen también dificultades al momento de enseñar el algoritmo convencional, el cual es muy costoso para alumnos y maestro en cuanto a la relación tiempo-aprendizaje”. Con estas palabras de Ariel Fripp en “Un aporte a la enseñanza de la matemática: reflexiones en torno a la división como objeto de estudio”, publicado en el Quehacer Educativo, Nº 86, FUM/TEP, Montevideo, 2007, no debe haber maestra que no se sienta identificada, especialmente las de sexto año, cuyos alumnos siguen viéndola todavía como ”la operación inaccesible”, debiendo dedicar horas de la jornada escolar a enseñarla.
Una de las dificultades, como señala Plunkett (1979), surge de que muchas veces se identifica concepto con algoritmo y, por ejemplo, para enseñar la división se enseña un método, pero no una “idea”; no se enseña el concepto de dividir, que va a guiar, a la hora de hacer los cálculos, con más fidelidad que la aplicación ciega de reglas memorizadas. Los niños llegan a realizar las operaciones de manera mecánica, automática, sin referencia de contexto ni de situación. Es preferible que las operaciones –y por lo tanto la división– se aprendan en el marco de las situaciones que se producen, insertas en ellas y no de manera aislada.
Es todo esto lo que nos conduce a considerar la división como objeto de estudio, convencidas de que comprender la división como operación es más que “saber hacer la cuenta” ¡y esto ya cuesta bastante!
Se hace necesario promover distintas situaciones de manera que los alumnos aborden la división desde sus distintos significados; debemos acercar al alumno al concepto de división, de manera que pueda entender verdaderamente su significado. Es también esperable que se generen actividades donde la relación Dividendo-divisor-cociente-resto sea problematizada, analizando los términos de la división, pudiendo constatar la dependencia que existe entre el resto y del divisor. Es fundamental trabajar la matemática, y en este caso en particular la división, desde la reflexión. No es lo mismo saber dividir que saber hacer divisiones. En Operaciones con números naturales, Editorial Acción Educativa, Madrid, 1984, Ferrero, L afirma que saber dividir implica un conocimiento conceptual, mientras que se pueden hacer divisiones con un mero conocimiento procedimiental.
Por su parte Maza, C., en Enseñanza de la suma y de la resta, Editorial Síntesis, Madrid, 1991, señala que si el algoritmo se enseña atendiendo a la comprensión conceptual del procedimiento seguido se recuerda mejor su realización, se aumenta su capacidad de transferencia y la capacidad de reducir y corregir el número de errores que se cometen. Por eso es importante ahondar en la comprensión de lo que se hace.
En Una nueva didáctica del cálculo para el siglo XXI, CissPraxis, Barcelona, 2000, Jaime Martínez Montero propone una forma sencilla y cercana de aprender división, y para eso sugiere pautas para que, al menos las dificultades más evidentes, se puedan superar. Es así que plantea que la operación tiene que cumplir ciertos principios:
a) El dividendo y el divisor deben ser números con claros referentes (el dinero, por ejemplo, que es fácil de simular con materiales sencillos y al alcance de todos, y además permite entender la equivalencia y el cambio de unidades).
b) La división no se debe hacer “de una vez”. Son repartos que están ligados, pero que son distintos; es necesario que cada uno de ellos se acabe, para saber lo que queda y poder seguir adelante.
c) El dividendo recibe un tratamiento integral, es considerado siempre como un número con sentido.
Aspectos:
*Significados
*Relaciones con otras operaciones
*Relaciones con el sistema de numeración decimal
*Propiedades
*Relaciones entre las propiedades
*Cálculo
*Algoritmos
*Resignificaciones en los diferentes conjuntos numéricos
*Notación
Significados
Agrupamiento y reparto
En un contexto de proporcionalidad
Siguiendo a Beatriz Rodríguez Rava en su trabajo “De las operaciones… ¿qué podemos enseñar?” publicado en El quehacer matemático en la escuela, Fondo Editorial Queduca, Montevideo, 2005, valoramos que operaciones es un contenido presente en todo el ciclo escolar con una gran riqueza de aspectos a ser trabajados.
Al egresar de la escuela, habiendo trabajado en diferentes conjuntos numéricos, los niños han de tener competencia operatoria y comprensión de las operaciones.
Competencia significa más que técnica de cálculo y algoritmo; implica saber manejar los conceptos y las relaciones que una operación representa. Las preguntas “tengo que hacer una de por?, ¿es esta la cuenta?, ¿es de menos?” deberían haber sido superadas al entrar al liceo.
Muchas veces pensamos que un alumno es bueno en matemática porque pasa al pizarrón y resuelve el algoritmo rápidamente, incluso explicando el mecanismo que él usa para lograrlo. Los padres también esperan de sus hijos esta destreza. Si bien el algoritmo es una trasmisión cultural a respetar, de nada sirve si no se domina la operación que está contenida o escondida en él.
Es importante considerar además la variación de contextos al trabajar las operaciones. Los alumnos suelen manejar como un cliché que la “cuenta de menos“ se hace cuando la pregunta es “¿cuánto gastó? Los contextos cotidianos son útiles, pero también pueden ser lúdicos, y pueden y deben ser intramatemáticos sin necesidad de recurrir a situaciones forzadas y fácilmente esterotipables.
Trabajar la división como reparto es interesante. Cuando se reparte, el divisor pertenece a un espacio de medida diferente del divisor, mientras que el cociente pertenece al mismo espacio que el dividendo y el resto también. Si prestamos atención al resto, éste, que también es del mismo espacio que el dividendo y el cociente, en la situación de reparto permite cambiar de conjunto numérico: si es posible, se puede pasar a los números decimales.
Ese “si es posible” es clave para saber si el alumno está entendiendo el significado de la operación. Si se trata de repartir niños en mesas no puede trabajar con decimales, pero si se trata de repartir cilindros de plasticina, sí. Es muy importante al trabajar la división como reparto enseñar a controlar el resto.
En la división como agrupamiento el dividendo y el divisor son del mismo espacio de medida; y el cociente es de otro. Ejemplo: rueditas para construir autitos.
En las situaciones problema, ya sea de la vida cotidiana, lúdicas o matemáticas el docente debe manejar el lugar de la incógnita al variar los significados. También es importante que los alumnos hagan este proceso, proponiéndoles que inventen enunciados a partir de ciertas operaciones, o que completen datos.
Relación de la división con otras operaciones
Para evidenciar y experimentar la relación de la división, por ejemplo con la resta, es importante permitir y promover el desarrollo de algoritmos artesanales, de estrategias propias en situaciones de agrupamiento y reparto, porque la propia construcción del concepto de división implica la relación con la resta, y el algoritmo convencional también la incluye. Un “buen alumno” ha de saber responder, a partir de tercer año, por qué resta al hacer el algoritmo convencional.
Si dejamos entrar la matemática a la escuela en el sentido en que lo dicen David Block y Martha Dávila en el trabajo “La matemática expulsada de la escuela” publicado en Educación Matemática 3, Vol 5, México, 1993, como matemática informal, permitiremos a los alumnos construir su propio concepto de la división en su relación con las otras operaciones.
El niño construye o descubre el sentido de repartir mediante restas sucesivas, hasta no quedarse con nada o con muy poco, intentando la división exacta y exhaustiva.
La intervención docente debe problematizar el algoritmo si éste ya está aprendido mecánicamente, o ayudar a construirlo comprensivamente. Los padres de los alumnos también aprendieron en la escuela el lenguaje formal y las reglas sintácticas de la matemática tal como lo definen Block y Dávila. Pero pueden recibir bien esta nueva visión que legitima los procedimientos informales, los esfuerzos artesanales por pensar matemáticamente, por buscar soluciones a los problemas, por inventar procedimientos de solución. Es necesario valorar los algoritmos que los alumnos sean capaces de crear para llegar al uso flexible de algoritmos tradicionales; es importante flexibilizar algo tan rígido como el algoritmo tradicional de la división.
Se trata de ir de la matemática de las personas a la matemática formal. Este camino tiende a enriquecer los procesos mentales de cada niño, que además sirven de dispositivos didácticos para los docentes.
La relación de la división con la multiplicación es tan evidente, que muchas veces, si preguntamos por la argumentación de una respuesta correcta en una situación de agrupamiento, por ejemplo, el niño contesta que multiplicó. Si manejamos el enfoque de las estructuras multiplicativas estas respuestas lejos de deprimirnos deben alegrarnos, porque significa que el niño está inmerso en pleno proceso constructivo, está poniendo en juego conocimientos adquiridos y los está usando con pertinencia.
Relaciones con el sistema de numeración decimal
La división entre 10 y con decimales dan cuenta de las relaciones de la división con el sistema de numeración decimal (SND).
Esos pequeños “trucos” institucionalizados por la familia, que pasan de generación en generación pueden ser problematizados para producir avances conceptuales. Ejemplos: para dividir entre 10 números terminados en 0, ”le saco el 0”, dicen los niños. La intervención docente debe apuntar a rever el valor posicional y la base 10 de nuestro sistema como recursos subyacentes.
Si el dividendo termina en cifra diferente de 0, “le pongo coma” o, “le corro la coma” son las respuestas más frecuentes. Pero hay que explicar por qué, y eso se explica por las características del SND.
Lo mismo sucede cuando” le agrego un cero al resto” y “pongo la coma” (en el divisor). Agregar el 0 es transformar, por ejemplo, 4 en 40 décimos, para así seguir dividiendo. Pero esto dicho así hay que enseñarlo.
Propiedades
Invarianza del cociente
El cociente no varía cuando varían el dividendo y el divisor, pero la relación entre ellos es la misma porque fueron multiplicados por el mismo número.
(35 % 7 = 5 y 70 % 14 = 5). Si multiplicamos dividendo y divisor por el mismo número, el cociente no varía. El divisor siempre está contenido 5 veces. Un caso especial es la división entre 10 (35 % 7 = 5 y 350 % 70 = 5 y 3,50 % 0,7= 5).
Estaríamos trabajando también junto con la propiedad de invarianza la relación con el SND y la resignificación en otro conjunto numérico. En los decimales la división la división no “achica” (3,50 % 0.7 = 5). Esta propiedad se pone en juego en los repertorios de cálculo: 120 % 40 = 3 porque 12 % 4 = 3.
Cálculo
Como dicen Cecilia Parra en el capítulo VII, “Cálculo mental en la escuela primaria”, del libro Didáctica de matemáticas: aportes y reflexiones, Cecilia Parra e Irma Saiz (comps), Editorial Paidós Educador, Buenos Aires, 2005, el cálculo se apoya en las propiedades del sistema de numeración decimal y en las propiedades de las operaciones, y pone en juego diferentes tipos de escritura de los números, así como diversas relaciones entre ellos.
Adhiriendo a la concepción de que calcular es ante todo prescindir de las colecciones de objetos, implicando repertorios (operaciones memorizadas), poniendo en juego las propiedades de las operaciones y el conocimiento del SND, toda actividad de cálculo de hecho evalúa avances conceptuales en cada grado.
En cuanto a los repertorios, de cada grado y de la escuela los niños han de salir con un cierto repertorio memorizado. Los juegos de cartas, de casilleros, de dados, y muchas situaciones de la vida cotidiana ayudan mucho, pero la intervención docente debe promover las actividades de cálculo, tanto exacto como aproximado. En ese sentido, si promovemos las estrategias artesanales estamos haciendo cálculo, ya que éste no es el algoritmo imaginado, “en la cabeza”, sino que supone métodos alternativos a los escritos.
Para el cálculo exacto los niños pueden usar lápiz y papel y calculadora, dependiendo de la situación. Con el cálculo aproximado también.
La calculadora es una excelente apoyatura para cálculo y para poner en en juego conocimientos y su relación con el SND.
Los padres se sorprenden o no ven con buenos ojos que no sólo permitamos sino que promovamos el uso de la calculadora.
El asunto es cuando y para qué. En general los niños usan la calculadora para evadir el algoritmo y para corroborar resultados. Pero puede servir para descubrir propiedades (invarianza de la división) o para ver las relaciones entre conjuntos numéricos como la división de un número natural por otro natural da un número racional.
Algoritmo
Si bien la enseñanza del algoritmo no debe ser apresurada y es necesario demorarlo, para que el niño construya todos los aspectos de la operación es importante manejar la relación entre sus términos.
El algoritmo de la división es muy difícil porque es hermético, poco transparente. Sin embargo, cualquier escolar es capaz de dividir, desde el momento que puede repartir y agrupar, algo que los niños siempre buscan hacer siempre en forma justa y equitativa.
La relación entre los términos es muy importante en la división y es de primordial importancia el control del resto. Proponer actividades donde los alumnos deban anticipar el resultado previendo que el cociente no puede ser mayor que el dividendo o tener más cifras que el dividendo, que el resto no puede ser mayor que el divisor, etc, es una manera de trabajar el algoritmo.
Lo mismo sucede con las variaciones: ¿qué pasa con el cociente y el resto si varío el dividendo? (24 % 3 = 8 y 25 % 3 = 8 con resto 1, etc.). Se puede descubrir regularidades.
Resignificaciones en los diferentes conjuntos numéricos
Resignificar la división al cambiar de conjunto numérico, en especial, cuando pasamos a trabajar con números racionales, no naturales. Se debe pensar y cuestionar ideas que se han fijado en los niños, como por ejemplo, que la multiplicación siempre “agranda” y la división “achica”, que siempre se debe dividir el número “más largo” por el “más corto”.
Notación
Un elemento importante es resignificar el signo = en la división.
Los niños escriben y todos aceptamos: 25 % 3 = 8 y esto no es así; en rigor deberíamos decir 25 % 3 tiene como cociente 8 y resto 1. O por lo menos, decir 25 % 3 = 8 con resto 1.
(Todo esto no es posible verlo con una calculadora.)
Consideraciones finales
Viendo cómo trabajar cualquier aspecto de la división pone en juego los conocimientos sobre los otros aspectos, y sabiendo que operaciones y numeración han de trabajarse juntos, es muy importante la planificación de las actividades. Los números adquieren sentido y ganan potencialidad en la medida en que entran en las operaciones, combinándose entre sí de diversas maneras. Del mismo modo, a través de las operaciones los niños entran en el mundo de los números. Al planificar las actividades relativas a la enseñanza de la división es muy importante determinar bien el objetivo-contenido de cada actividad, y es muy importante la gestión de la puesta en común, para que la institucionalización sea coherente con el objetivo. La puesta en común es el espacio didáctico de enseñanza y aprendizaje. En este caso el saber específico es la división. Las discusiones deben centrarse en el aspecto de ella elegido. Para que se produzcan avances conceptuales es necesario promover intercambios, exigir argumentaciones, problematizar, relacionar y descubrir regularidades.
Bibliografía
Belmonte Gómez, Juan Miguel, “Las relaciones multiplicativas: el cálculo multiplicativo y de división. Cálculo mental y con calculadora”. En Chamorro, Mª del Carmen, (coordinadora), Didáctica de las matemáticas, Pearson Prentice Hall, Madrid, 2006.
Block, David; Dávila, Martha, “La matemática expulsada de la escuela”. En La enseñanza de la matemática en la escuela primaria, SEP, México, 1995.
Chemello, Graciela, “El cálculo en la escuela: ¿las cuentas son un problema?” En Iaies, Gustavo (comp.), Los CBC y la enseñanza de la matemática, Editorial AZ, Buenos Aires, 1998.
Ferrero, L., Operaciones con números naturales, Editorial Acción Educativa, Madrid, 1984.
Fripp, Ariel, “Un aporte a la enseñanza de la matemática: reflexiones en torno a la división como objeto de estudio”. En Quehacer Educativo, Nº 86, FUM/TEP, Montevideo, 2007.
Martínez Montero, Jaime, Una nueva didáctica del cálculo para el siglo XXI, CissPraxis, Barcelona, 2000.
Martínez, Patricia; Moreno, Eva, “Aprendiendo a dividir”. En Revista Básica, Nº 11, Fundación SNT, México, 1996.
Maza, C., Enseñanza de la suma y de la resta, Madrid, Editorial Síntesis, 1991.
Parra, Cecilia, “Cálculo mental en la escuela primaria”. En Didáctica de matemáticas: aportes y reflexiones, Cecilia Parra e Irma Saiz (comps), Editorial Paidós Educador, Buenos Aires, 2005.
Pazos, Liliana, “Vamos a hacer unas cuentas”. En Rodríguez Rava, Beatriz; Xavier de Mello, Alicia (comps.) El quehacer matemático en la escuela, Fondo Editorial Queduca, Montevideo, 2005.
Rodríguez Rava, Beatriz, “De las operaciones… ¿qué podemos enseñar?” En Rodríguez Rava, Beatriz; Xavier de Mello, Alicia (comps.) El quehacer matemático en la escuela, Fondo Editorial Queduca, Montevideo, 2005.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)