Art. 406
Enseñanza del concepto de área
El concepto
de área está tan vinculado a nuestras actividades cotidianas que tomar
conciencia de él es tan difícil como percibir el aire que respiramos. Su origen
es tan viejo como la humanidad, pero su formulación matemática precisa, lograda
recién cuatro siglos atrás, es hoy sólo patrimonio de unos pocos profesionales
de las ciencias exactas. Para terminar con esta indeseable situación hay que
modificar la enseñanza del concepto de área desde la escuela primaria.
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Contenido en el Área del Conocimiento Matemático.
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Introducción:
Hipótesis a partir de una situación problema:
- ¿Cuántos pliegos de cartulina debemos tener para poder hacer 25 sombreritos para la fiesta de cumpleaños?
- ¿Cuántos mosaicos hay que comprar para reemplazar el piso de la cocina?
- ¿Qué cantidad de tela se requiere para hacer un juego de sábanas para nuestra cama?
- ¿Cuántos litros bastan para dar 3 manos de pintura al salón de clase?
- ¿Cuántas baldozas alcanzan para revestir todo el patio de la escuela?
- ¿Qué productividad tiene la tierra agraria de una zona?
- ¿Qué tamaño de departamento necesitamos para satisfacer bien nuestras necesidades familiares de espacio?
- ¿Cuál es la superficie del dormitorio?
Para
contestar cualquiera de estas preguntas, y muchas otras, necesitamos comprender
y saber calcular áreas. Se trata, en todos los casos, de cuantificaciones de
superficies en relación con otras magnitudes muy variadas.
Origen histórico del concepto de área
A diferencia
de las leyes físicas, químicas y biológicas, los conceptos matemáticos no son
parte de la naturaleza sino provienen de la interacción de la mente humana con
ella. Reflejan la manera en que está estructurado el pensamiento, sus elementos
constitutivos, las relaciones entre ellos y las operaciones de transformación
de ambos (estructuras y procesos
mentales). Durante el proceso de evolución biológica de la
especie humana estas características se adaptaron a la mejor resolución de sus
problemas prácticos. Es por esta razón que la valoración y el rescate de la
intuición del estudiante —experiencia internalizada no consciente, véase el
artículo sobre saber— le facilita
asumir el protagonismo activo de su propio aprendizaje, en vez de ser un
desganado memorista que sólo busca satisfacer los aparentemente arbitrarios
requerimientos de un maestro o profesor. Ésto es justamente lo que pasa cuando
el concepto de área se desarrolla a partir de la aparentemente antojadiza
definición de la de un cuadrado o rectángulo.
El concepto
de área no es innato sino culturalmente transmitido. Se originó probablemente
en tiempos prehistóricos cuando la especie humana era todavía nómade y vivía de
la caza, la pesca y la recolección de frutos y raíces. La búsqueda de alimentos
requería grandes recorridos en busca de las plantas y animales esenciales para
la supervivencia. Al mismo tiempo, la competencia con otros grupos humanos
requería respetar territorios ajenos o combatir por ellos, siendo el concepto
de territorio afín al de área. En esta acepción operativa un área es una franja
de territorio que se puede recorrer en cierto tiempo, dependiendo de la
naturaleza del terreno y de la velocidad de desplazamiento. Este mismo concepto
de área es el que tiene hoy aplicación práctica en un scanner,
dispositivo electrónico que explora las características gráficas de una
superficie por desplazamiento sobre ella, cuya correcta denominación castellana
debería ser explorador por barrido.
La segunda
acepción operativa de área —más básica, la usada en las ingenierías y en la
Física— es la de cubrimiento y requiere un área de referencia como una manta,
una alfombra o una baldosa. Esta acepción seguramente surgió en la etapa
sedentaria de los asentamientos humanos estables, de la construcción de viviendas
permanentes y de la ocupación continua de terrenos agrícolas y ganaderos. Por
ejemplo, no se puede fabricar la cantidad de tela necesaria para vestir a una
persona si no se tiene alguna manera de medir o calcular áreas. En esta
acepción dos superficies cualesquiera (la del cuerpo y la de la tela, en el
ejemplo anterior) tienen la misma área cuando una es capaz de cubrir a la otra
sin sobrantes ni faltantes apreciables. Esta acepción, más simple, puede servir
de fundamento a la primera acepción discutida, la del recorrido, que puede
entonces considerarse como un proceso de cubrimiento virtual.
Áreas de figuras irregulares
El concepto
de cubrimiento se cuantifica cuando se usa una superficie de referencia
(unidad) capaz de cubrir, por repetición, otra mucho mayor. Aquí es crítica la
forma de la unidad para que sea capaz de cubrir áreas crecientes, por
repetición y sin dejar huecos entre sí. Hay muchas formas con esa propiedad,
siendo las más conocidas —por su uso en baldosas y azulejos— los cuadrados (véase
la Figura 1) y rectángulos. Otras menos comunes son el triángulo equilátero,
como se ilustra en la Figura 2, los paralelogramos de cualquier forma y los
exágonos regulares. Es imposible, en cambio, cubrir una superficie con
pentágonos regulares sin dejar huecos entre ellos (véase la Figura 3). Es
importante aquí establecer bien la diferencia entre la ausencia de huecos y
solapamientos entre piezas contiguas y la capacidad de cubrir cualquier forma
sin excesos ni sobrantes, tema que se discute detalladamente a continuación.
Figura 1. Cubrimiento de una
superficie
con cuadrados.
con cuadrados.
Figura 2. También puede hacerse
con triángulos equiláteros.
con triángulos equiláteros.
Figura 3. El cubrimiento con
pentágonos regulares es siempre incompleto.
Figura 4. El área aproximada de la superficie,
por defecto, es de 16 unidades y 17/4.
El grado de
cubrimiento de figuras irregulares es mayor cuanto menor sea la unidad de área
(el área de referencia). Para ello hay que subdivir esta área en fracciones,
que en el caso de la Figura 4 son 1/4 de la unidad original para facilitar su
visualización (la norma decimal es subdividir la unidad principal en décimas,
centésimas, y así siguiendo). Si siguierámos subdividiendo aún más la unidad,
lograríamos aproximarnos cada vez más a un cubrimiento completo, hasta el punto
en que el error cometido fuera despreciable. El uso sucesivo de unidades cada
vez más pequeñas hasta lograr el cubrimiento completo es la base del concepto
matemático de área que se discute al final. El cubrimiento aproximado puede hacerse
tanto por defecto (caso de la Figura 4) como por exceso (véase la Figura 8).
Elección de unidades de área
El cubrimiento permite determinar la
igualdad de áreas, con un margen de error que depende de cual sea la
menor fracción de la unidad de cubrimiento que se esté dispuesto a usar. En
todo el análisis previo esta unidad era elegida arbitrariamente; podía ser una
hoja de papel, un trozo de tela, una alfombra o cualquier otro objeto adaptable
a la superficie cuya área se quiere determinar por comparación. Esta
arbitrariedad —común a las unidades de cualquier magnitud, tales como una
longitud, un tiempo o una luminosidad— crea problemas cuando se quiere
comunicar áreas a alguien que no tiene acceso directo a la unidad. Por ejemplo,
si alguien nos ofrece en EEUU un terreno cuya área es de 200 acres (unidad
habitualmente usada en ese país), no sabremos de qué nos está hablando hasta
que sepamos cómo compararla con nuestra unidad habitual para ese fin, la
hectárea (ha).
La unidad
adoptada universalmente por la Física (Sistema Internacional de
unidades, o SI) es el área de un cuadrado de
1 metro de lado, o metro cuadrado (m², véase metro). Para
grandes áreas la operación de cubrimiento se facilita si se toman múltiplos de
la unidad principal. Nótese, por ejemplo, que la zona central de la Figura 4
puede cubrirse con una super-unidad cuadrada formada por 9 unidades
principales. Cada unidad convencional tiene un rango práctico de aplicación: el
cm² para superficies que caben en nuestras manos, el m² para departamentos, la
hectárea (1 ha=10.000 m²) para lotes y el km² (100 ha) para las áreas
de provincias y países.
Áreas de figuras regulares
Figura 5. Cálculo del área de un rectángulo por
cubrimiento con unidades cuadradas.
Las figuras
más simples que se pueden recubrir de modo perfecto son los rectángulos cuyos
lados son múltiplos enteros del lado de la unidad cuadrada de área (múltiplo o
submúltiplo del m²). El rectángulo de la Figura 5, cuyos lados miden
respectivamente 3 y 5 unidades de longitud (los segmentos indicados), se puede
cubrir completamente con cuadraditos cuyos lados miden 1 unidad de longitud, y
cuyo número, como se ve a simple vista, es el producto de las medidas de los
lados. Para mayor claridad del argumento estos rectángulos se representan
separados a la derecha de la figura. Esta propiedad es completamente general y
conduce a la fórmula del área de un rectángulo como el producto de su base por
su altura. No es una definición inventada sino una consecuencia del concepto de
área como medida del cubrimiento. La definición es válida también para lados
que no son múltiplos enteros, sino cualquier fracción del lado del cuadrado
unidad de área. Se puede verificar que esto es cierto usando como nueva unidad
de área un cuadradito cuyo lado es también una fracción similar del original.
Figura 6. Cubrimiento de un rectángulo con dos
triángulos de igual área.
Con este
modo de introducir el concepto de área es fácil comparar el área de un
triángulo con la de un rectángulo. En la Figura 6 se muestra la manera habitual
de hacer esta reducción mediante la subdivisión de un triángulo escaleno,
operación válida también para los triángulos equiláteros, isósceles y
rectángulos (el caso más simple). Se traza la altura a del triángulo
grisado, la línea de trazos, subdividiéndolo en dos triángulos rectángulos
menores. Se construyen dos triángulos iguales a éstos, ubicándolos de modo de
formar un rectángulo. Este rectángulo tiene un área doble que la del triángulo,
porque para cubrirlo se requiere duplicar los triángulos originales. El área A
del triángulo es, entonces, igual a la mitad de la del rectángulo así
construido, la mitad del producto de su altura a por su base b: A=a·b/2.
Cuando el
concepto de área se introduce, como es habitual, definiendo a la de un
rectángulo como el producto de su altura por su base, el método gráfico de
cálculo del área de un triángulo aparece como un artificio injustificado,
cuando en realidad no es así. El problema surge porque se empieza con una
fórmula, no con un concepto. Toda fórmula es la expresión matemática de un
concepto cuya formación debe alcanzarse primero. El origen de este tradicional
encaramiento probablemente proviene de que las definiciones operativas, como la
de cubrimiento, son parte natural de la Física y las ingenierías, pero no de la
Matemática. En ésta el método seguro no es el uso de la intuición sino la
introducción de postulados, siendo la definición de área uno de ellos.
Todos los
polígonos pueden reducirse a triángulos, por lo que su área se calcula por
cubrimiento con triángulos apropiados, cuya área se conoce a partir de las
medidas de sus bases (lados) y alturas (apotemas). Aunque aparentemente no
puede calcularse de esta forma el área de un círculo, en realidad no es así.
Este problema, que se encara a continuación, permitirá comprender mejor la idea
de cubrimiento completo que se planteó al comienzo.
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Conclusiones
El concepto
de área no surgió por capricho o vuelo de la imaginación sino por las
necesidades prácticas de cuantificar cubrimientos de muy variado tipo.
La
construcción del concepto de área, desde su origen intuitivo en operaciones de
cubrimiento hasta su rigurosa formulación matemática, requiere (como todos los
saberes complejos) transitar un largo camino. La mente humana construye las
estructuras complejas en etapas y niveles de agregación. La identificación de
esas etapas, su jerarquización y la manera de construir estructuras mentales
donde los conceptos más complejos están basados en la organización de otros más
simples en estructuras de inclusión como las de las muñequitas rusas mamuschkas,
son requisitos esenciales para el buen trabajo docente. Como para el recorrido
de cualquier trayecto, no sólo hay que saber el punto de partida sino también
el de llegada, aunque no todos lo completen arribando, como en este caso, al
concepto de integral matemática.
Fuentes
- Courant, Richard & Robbins, Herbert; Qué es la Matemática; Editorial Alda; Ciudad de Buenos Aires; 1954; Courant&Robbins M.
- Granville, William Anthony; Cálculo diferencial e integral; Edit. UTEHA; México; 1956.
- Solivérez,
Carlos E.;
Del concepto
intuitivo al concepto matemático de área.
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