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Docente y Licenciada en Ciencias de la Educación.
Idiomas :Español y Portugues.
Traducción de páginas en este idioma.

 AsesoríaDigital Ana María Castro Luca

viernes, 6 de mayo de 2016

Enseñanza de la división

Enseñanza de la división a lo largo de la escuela primaria

Esta nota retoma y amplía una nota anterior: "Una posible progresión del contenido “División” a lo largo de la escolaridad primaria."

     Se vuelve a destacar la idea de que enseñar una operación implica abordar los diferentes problemas que se resuelven o que se relacionan con ella. 

     La división se incluye en el campo de problemas multiplicativos. Para abordar la variedad de problemas propios de este campo, es preciso trabajar a lo largo de la escolaridad:
  • - Problemas de reparto
“Tengo 8 caramelos para dar a 2 niños. ¿Cuántos caramelos le puedo dar a cada uno?”

  • - Problemas de particiones
“Tengo 8 caramelos y le quiero dar 2 a cada niño. ¿Para cuántos niños me alcanza?”

              La acción en cada uno de los casos es bien distinta: cuando repartimos vamos entregando uno a cada uno hasta agotar los elementos, cuando partimos vamos sacando una cierta cantidad de elementos repetidas veces.

  • - Problemas donde es relevante el análisis del resto
“¿Cuántos remises se necesitan para que viajen 15 personas si en cada auto pueden subir 4?”

  • - Problemas de iteraciones
“Tengo $50 guardados para viajar y gasto $3 por día en el colectivo. ¿Para cuántos días me alcanza? ¿Cuánto dinero necesito para que me alcance para un día más?”
“Si parto del 100 y cuento de 7 en 7 hacia atrás, ¿a qué número llego?”

Este es el sentido más complejo de la división; abarca situaciones donde hay que pensar cuántas veces entra un número en otro, y considerar también el resto, que a veces, como en el segundo ejemplo, es el único dato que permite responder a la cuestión que plantea el problema .

Hasta aquí hemos mencionado significados propios de la división; sin embargo, esta operación también es una herramienta para resolver otros problemas multiplicativos, cuando la incógnita cambia de lugar:

  • - Problemas de series proporcionales
“Compré 8 biromes iguales y gasté $24, ¿cuánto costaba cada birome?”

  • - Problemas de organizaciones rectangulares
“En el teatro hay 200 butacas. Hay 10 filas de butacas. ¿Cuántas butacas hay en cada fila?”

De entrada, estamos lejos de relacionar la división únicamente con la idea de “repartir”.

Desde esta mirada, es que se desarrolla a continuación una progresión posible para el tratamiento de este objeto de enseñanza en la escuela primaria, que es el que se propone en el Diseño Curricular de la Provincia de Buenos Aires.

1º año: 
Problemas de reparto con distintos procedimientos –dibujos, marcas, conteo, restas, sumas-.

Estamos aquí en una primera etapa de exploración, que pudo haberse iniciado en la Educación Inicial. Los primeros repartos que se plantean pueden ser no equitativos, luego habrá otros donde deba repartirse en cantidades iguales: esta será una primera diferenciación. Los niños no saben aún que la división es la herramienta idónea para resolver las situaciones donde el reparto es equitativo –tampoco es necesario que el docente la presente como tal- sin embargo, cuentan con medios para resolverla si los problemas que se proponen contienen números pequeños o redondos, que puedan ser controlados por los niños con los recursos que tienen disponibles hasta este momento. Tradicionalmente, el material concreto parecía algo imprescindible en esta instancia del aprendizaje. Puede haber material concreto disponible por si los niños lo necesitan, o bien puede plantearse una situación que lo involucre, sin embargo, su valor no reside en el material en sí mismo, sino en la riqueza del problema que se presenta.

2º año
Problemas de reparto y partición con distintos procedimientos – dibujos, marcas, números, cálculos-.

Se retoman los problemas de reparto y aparece también otro de los sentidos de la división: la partición. Es necesario continuar utilizando números pequeños o redondos, para que sean controlables por los niños. Es probable que para resolver los problemas, los alumnos utilicen la suma o la resta, pero seguramente habrán también quienes comiencen a relacionar estas situaciones con la multiplicación.
A esta altura, los niños ya conocen otras operaciones y otros signos; es posible también introducir el signo de dividir para representar los problemas resueltos.

3º año
Problemas de reparto, partición, organizaciones rectangulares, series proporcionales, mediante distintos procedimientos y reconociendo la división como la operación que resuelve el problema.
Construcción de un repertorio de cálculos con apoyo del análisis de la tabla pitagórica y posterior memorización.
Construcción de un repertorio de multiplicación y división por la unidad seguida de ceros y números redondos dividido un dígito.
Exploración de estrategias de cálculo aproximado, uso de la calculadora.
Selección de estrategias de cálculo de acuerdo con la situación y los números involucrados.
Exploración y uso de diferentes algoritmos de división por una cifra.
Explorar problemas que demandan analizar el resto.
Variados problemas.
Reparto del entero en partes iguales, utilizando mitades y cuartos.

El abanico de problemas se amplía y comienza a ser esperable que los alumnos reconozcan que el problema “es de dividir”.
Mientras los números sean pequeños o redondos, a los niños les resultará cómodo utilizar sumas y/o restas sucesivas para resolver. También es posible que aparezca la multiplicación. Si en el momento de intercambio acerca del problema no aparece la división, el docente será el encargado de hacerla visible, al comienzo con el cálculo escrito en forma horizontal.
Otra forma de introducir el signo de división es a partir de problemas en donde se desconoce el factor de un producto.
Por ejemplo:
Los chicos están preparando flores para decorar el salón. Hacen flores de 4 pétalos. Si tienen 48 pétalos, ¿cuántas flores se pueden armar?

Esto se puede representar con _____ x 4 = 48

Otro grupo armó 7 flores con los 28 pétalos que tenían. Todas son iguales. ¿Cuántos pétalos le pusieron a cada flor?

Esto se representa con 7 x ____ = 28

Se introduce entonces el signo de división planteando que otra forma de escribir esto es 48 ÷ 4 = ______       ó  28 ÷ 4 = ______  que se lee “veintiocho dividido 4 es…”

Hasta aquí, el planteo del cálculo en forma horizontal se debe a que no tiene mayor sentido escribir una “cuenta” con el formato del algoritmo convencional para resultados que se encuentran en las tablas de multiplicar.

Lo que vuelve necesario un algoritmo, es la distancia entre los números que forman parte de esa división, ya que esto vuelve muy costoso un procedimiento de sumas o restas sucesivas, y poco accesible un procedimiento que involucre una sola multiplicación.
Retomaremos en breve la cuestión del algoritmo. Es importante destacar que el trabajo con el mismo requiere que en paralelo se construya un repertorio, es decir, se elaboren conocimientos en torno al cálculo mental y se memoricen resultados que, por una parte, haga más ágiles los distintos cálculos que intervienen en el algoritmo, y por otra, puedan constituirse en un medio de control para evaluar la razonabilidad de los resultados obtenidos.
La construcción de este repertorio se apoya en la tabla pitagórica, que contiene todos los resultados de las multiplicaciones desde 1 x 1 hasta 10 x 10. Mediante actividades de completamiento y análisis de esta tabla, se buscará construir conocimientos acerca de diferentes relaciones –las cuales se basan en las propiedades de la multiplicación- que sirvan de apoyo a la memorización, por ejemplo: la tabla del 4 es el doble de la del 2 y la del 8 el doble de la del 4, la tabla del 7 se reconstruye sumando los resultados de la del 2 y la del 5, conociendo los resultados de la mitad de la tabla pitagórica podemos conocer los de la otra mitad, etc.

4º año:
Problemas de reparto, partición, organizaciones rectangulares, series proporcionales
Repertorio de cálculos con apoyo del análisis de la tabla pitagórica.
Resolución de cálculos mentales que implican poner en juego el repertorio memorizado y propiedades de las operaciones y del sistema de numeración.
Explorar problemas que demandan analizar el resto, utilizar la división en problemas de iteración.
Cálculo estimativo para anticipar resultados, selección de estrategias de cálculo, uso de la calculadora. Variados problemas.
Cálculos algorítmicos de división por una y dos cifras.

Se trata de afianzar los conocimientos elaborados hasta el momento y utilizarlos con flexibilidad en variedad de problemas y cálculos, con dividendos de diversa cantidad de cifras y divisores de hasta dos cifras. También se amplía el sentido de este concepto con un nuevo tipo de problema: los de iteración. Será necesario plantear las primeras situaciones de este tipo con números no demasiado grandes, para que los alumnos puedan ensayar algunos modos de resolución, como por ejemplo restar sucesivamente, representar los números en una recta y dibujar los saltos hacia atrás, etc.
En cuanto a los algoritmos que se hayan explorado, es necesario que entre este año y el siguiente se acorten y se los vincule con el algoritmo convencional.

Retomemos este recorrido:
- Los primeros problemas en los primeros años se resolvieron con marcas y dibujos, y luego con sumas o restas.
Supongamos que partimos del siguiente problema:
Para el acto del 25 de mayo, los chicos prepararon pastelitos para vender. Hicieron 72 pastelitos y los acomodaron en bandejas de 8 pastelitos cada una.
¿Cuántas bandejas pudieron preparar?

Se puede resolver con varias restas
72 – 8 – 8 – 8 …

O también con varias sumas
8 + 8 + 8 …

Es sumamente probable que los chicos expresen este procedimiento con varias operaciones:
72 – 8 = 64
64 – 8 = 56

8 – 8 = 0

Otra posibilidad es que busquen una multiplicación que dé o se acerque al resultado.

- Como hemos mencionado antes, al introducir distancia entre los números surgirá la necesidad de hacer menos costosos estos procedimientos, restando “varias veces juntas”, es decir aproximándose al resultado a través de multiplicaciones.

Por ejemplo:
Repartir en partes iguales 183 caramelos entre 7 chicos.

Los chicos empiezan a restar 7, 7 … Pueden comenzar a acortar intentando dar más de un caramelo a cada chico por vez. Si esto no surge de la iniciativa de los niños, será necesaria la intervención docente: “¿Alcanza para darle 10 a cada uno? Sí, serían 70 caramelos.
Entonces quedan 113 caramelos…

7 x 10 = 70          183 – 70 = 113
7 x 10 = 70          113 – 70 = 43

“Con lo que queda, ¿alcanza para darle 10 caramelos más a cada chico? Ya no ¿Y 5 caramelos más a cada chico?” En ese caso sí:

7 x 5 = 35             43 – 35 = 8

“¿Podemos repartir algo más?”

7 x 1 = 7              8 – 7 = 1

Entonces podemos dar 26 a cada uno, y sobra 1 caramelo.

- Los intentos de los niños de llegar al resultado mediante sumas, restas o multiplicaciones se plasman en algoritmos de división más largos que el convencional, pero también más transparentes.


- Un recurso que enriquecerá, ofrecerá un medio de control de los resultados y finalmente permitirá abreviar estos algoritmos, es el cálculo estimativo para encuadrar el cociente, es decir, determinar anticipadamente la cantidad de cifras que va a tener, para lo cual será necesario apelar a la multiplicación por la unidad seguida de ceros.
Por ejemplo, en la división:
12.357 ÷ 43 =
Comenzamos a ensayar multiplicaciones para anticipar la cantidad de cifras del cociente:
43 x 10 = 430
Suponiendo que el cociente es 10, estamos muy “lejos” del dividendo; por lo tanto el cociente va a ser mayor que 10.
43 x 100 = 4.300
Todavía se está lejos del dividendo; el cociente será mayor que 100.
43 x 1000 = 43.000
Suponiendo que el cociente es 1.000, obtenemos un dividendo mucho mayor, por lo tanto el cociente será mayor que 100 pero menor que 1.000, es decir, tendrá 3 cifras.


- El encuadramiento del cociente nos da la posibilidad de “acortar” al máximo el algoritmo desplegado.

Si sabemos que el resultado va a ser de 3 cifras, propondremos a los chicos encontrar solamente 3 cocientes parciales.
Para el ejemplo anterior:
12.357 ÷ 43 =
Primero buscaremos el cociente del orden de los cienes o centenas.
43 x 100= 4300 (falta) ; x 200 = 8600 (falta) ; x 300 = 12900 nos pasamos, no llega al 12900).
Entonces el primer cociente parcial es 200

12.357      /  43        
- 8.600      200
   3.757

Ahora buscamos el cociente del orden de los dieces:
43 x 10 =430 (falta); x 20 = 860 (falta); x 40 = 1.720 (falta); x 80 = 3.440 (falta); x 90 = 3.870 (me pasé).

Entonces el segundo cociente parcial es 80

12.357     /  43     
- 8.600      200
   3.757
 - 3.440        80
      317

Falta encontrar el último cociente, del orden de los unos o unidades:
43 x 1 = 43 (falta); x 3 = 129 (falta); x 6 = 258 (falta); x 7 = 301 (falta); x 8 = 344 (me pasé).

Entonces el último cociente parcial es 7

12.357     /  43
- 8.600      200
   3.757
 - 3.440        80          317
  - 301            7
      16        287

El cociente es 287, y el resto 16.

- Algoritmo convencional

Desde este último algoritmo, será posible realizar las vinculaciones con el algoritmo convencional, que va pasando por las mismas cifras, pero reemplazando las cantidades globales (200, 80, 7) por una sola cifra (2,8,7) que tiene valor posicional.

5º año
Problemas de reparto, partición, organizaciones rectangulares, series proporcionales, análisis del resto, iteración.
Comenzar a analizar las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto.
Cálculo mental, estimativo, algorítmico, selección de estrategias según números y situaciones, uso de la calculadora, problemas variados.
Problemas que involucran el uso de múltiplos y divisores comunes.

El fortalecimiento de los aprendizajes se basa en la variedad de problemas y cálculos. No es necesario “dividir por más cifras”. Una de las cuestiones, frente a las situaciones que se plantean, es justamente poder decidir si el cálculo puede resolverse mentalmente, con algún algoritmo, o apelando a la calculadora.
Por otra parte, en este año y el siguiente se comienza a estudiar más sistemáticamente el funcionamiento de la división. Por ejemplo, apoyándose en sus propiedades, se podrá avanzar hacia la anticipación de resultados sin hacer las cuentas: “¿Dará lo mismo 144 : 12 que 144: 4 : 3? ¿Y que 144: 6 : 2?”. “A partir del cálculo 13.200: 3= 4400, ¿cuánto será el resultado de 13.200: 6? ¿Y 13.200: 12?”.

6º año
Variedad de problemas que impliquen el trabajo sobre los diferentes sentidos y recursos de cálculo utilizados a lo largo de los años anteriores.
Mayor hincapié en las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto, considerando cantidad de soluciones posibles según las relaciones entre los datos. 
Problemas que involucran el uso de múltiplos y divisores en un trabajo exploratorio centrado en las relaciones entre los números y las propiedades de las operaciones, más que en las cuentas, utilizando la calculadora.
Criterios de divisibilidad para establecer relaciones numéricas y anticipar resultados.

Se profundiza en este año el estudio de conceptos relacionados con la división, como los de múltiplos, divisores y criterios de divisibilidad.
Por otra parte, el estudio de las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto permite profundizar un nuevo aspecto de cómo funciona la división. Durante los años anteriores se han resuelto diversidad de problemas apelando a esta herramienta: es el momento de comenzar a abordarla desde su nivel “interno”. Podría pensarse este contenido –el estudio de las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto- como un importante punto de articulación entre la Educación Primaria y Secundaria.