21
Hemos desarrollado en los encuentros la importancia
de abordar la enseñanza del
cálculo mental, del cálculo estimativo y del uso de
la calculadora en forma previa al cálculo
algorítmico. Veamos algunos cálculos que realizan l
os niños:
También en la Escuela Nº 1 de Marcos Paz, Mónica Ca
purro propone a sus alumnos
diversos algoritmos que provisoriamente se usan en
forma simultánea con la finalidad de que
los alumnos controlen los pasos intermedios que rea
lizan:
22
En otro tercer año, Ana Migiotti, maestra de la EGB
Nº 4 de la localidad de N. de la
Riestra propone a sus alumnos una serie de problem
as que se resuelven con cálculos
multiplicativos. Veamos cómo los niños realizan des
composiciones que les permiten con
multiplicaciones más sencillas, resolver las multip
licaciones más complejas.
Los procedimientos de los niños ponen en juego int
uitivamente la propiedad distributiva
de la multiplicación con respecto a la suma. Podrá
ser enunciada aunque no se usen sus
nombres convencionales (
“Vimos que hacer 8 x 7 era lo mismo que hacer prime
ro 8 x 5 y luego
8 x 2 y sumar todo al final”
) . Recién en el segundo ciclo será necesario nombr
ar
convencionalmente estas propiedades. Los niños podr
án resolver entonces diferentes cálculos
utilizando procedimientos de cálculo mental primero
, luego se aproximarán a procedimientos de
cálculos verticales realizando diferentes descompos
iciones y analizando si obtienen o no el
mismo resultado. El algoritmo convencional se pres
enta luego, como un procedimiento más
sintético a partir de los utilizados por los niños,
pero basado en la misma propiedad: se realizan
diferentes multiplicaciones a partir de descomponer
el número.
23
Una vez que los niños conocen el algoritmo de la mu
ltiplicación no ”desaparece de la
escena” el cálculo mental. Se continúan proponiendo
ejercicios de estimación y verificación de
cálculos, planteando problemas que no exijan result
ados exactos, etc. Por ejemplo, Bibiana
Morel, maestra de 6to año de la escuela Nº 46 de Lo
bería propone a sus alumnos los siguientes
cálculos:
24
En el segundo ciclo se pretende que los alumnos pu
edan disponer de variados
procedimientos y técnicas de cálculo y elegir el má
s pertinente en función de los problemas. Se
espera también que los alumnos adquieran herramient
as que les permitan controlar procesos y
resultados. Para ello propusimos un fuerte trabajo
de cálculo aproximado, de cálculo mental, y de
uso de calculadora
9
.
En segundo ciclo, a partir de las estrategias de
cálculo mental es posible abordar la
explicitación de las propiedades utilizadas. Por ej
emplo, situaciones que exijan argumentar
acerca de la validez de ciertas expresiones:
Colocar Verdadero o Falso y justificar :
36: 6 : 2= 36 : (6:2)
240 : 12= 240 : 10 :2
35 x 16 = 35 x 4 x 4
El estudio de las propiedades de la multiplicación
permitirá a los alumnos desplegar una
gran variedad de estrategias de cálculo. Por ejempl
o, a partir de la utilización de la propiedad
distributiva de la multiplicación con respecto a la
suma y la resta poder pensar en 25 x 19 como :
-
25 x 10 + 25 x 9
-
25 x 10 + 25 x 5 + 25 x 4
-
25 x 20 – 25 x 1
-
etc.
y a partir de la utilización de las propiedades con
mutativa y asociativa poder considerar 25 x 20
como equivalente a :
-
5 x 5 x 20
-
5 x 5 x 5 x 4
-
2 x 25 x 10
-
etc.
La calculadora es una herramienta hoy imprescindib
le en las aulas. Entre sus usos
resaltamos la posibilidad de que los alumnos resuel
van una gran variedad de problemas en los
cuales los cálculos no son el objetivo de la clase,
especialmente con aquellos problemas que
tienen varios pasos y en los que la actividad centr
al del alumno es tomar decisiones acerca de qué
cálculos hacer. También es interesante como control
de las anticipaciones, por ejemplo, frente a
una colección de cálculos en los que hay que realiz
ar estimaciones, utilizar la calculadora para
corroborar:
25 x 138: como 25 x 100 es 2500 es mayor que 2500,
15 x 197: como 15 x 200 es 3000 es un poco menor
que 3000
Abordamos también en los encuentros un conjunto de
problemas de cálculo para resolver
con la calculadora que exigen utilizar las propieda
des conmutativa, asociativa y distributiva. Por
ejemplo, este trabajo de un alumno de tercer grado
en el que se comprueba la validez o no de
ciertas descomposiciones para multiplicar dos númer
os:
9
Para ampliar estos aspectos consultar el Documento
Nº 4 del GCBA y Parra, 1994.
25
Otros problemas con la calculadora que permiten tr
abajar las propiedades son por
ejemplo los siguientes:
“¿Cómo hacer 25 x 20 en la calculadora si no funcio
na la tecla del 0?”
O
bien: “
¿Cómo hacer 6 x 5 x 7 x 9 x 10 utilizando una sola
vez la tecla x?”,
etc
.
El análisis sobre la utilización de la propiedad di
stributiva de la multiplicación respecto de
la suma en estos cálculos permite comprender la inn
ecesariedad de “dejar el lugar” cuando
multiplican por dos cifras o la arbitrariedad de in
iciar el cálculo por las unidades. Por ejemplo
son cálculos equivalentes y válidos:
450
x 14
1800 (4 x 450)
4500
(10 x 450)
6300
450
x 14
4500 (10 x 450)
1800
(4 x 450)
6300
Ambos algoritmos podrán “convivir” en la clase. Ser
á interesante que los alumnos
conozcan que usualmente - al menos desde hace unos
siglos, en algunos países, y por ahora -
se inicia el cálculo por las unidades, o que se “d
eja un lugar” en el producto de las decenas,
aunque ambas cuestiones no sean únicas ni necesaria
s. Apuntamos a que nuestros niños
dominen las razones que subyacen a los cálculos que
utilizan y que sepan también que han
existido y sobreviven diferentes formas de calcular
según los tiempos y las culturas.
Hemos desplegado parte del trabajo realizado en las
aulas dirigido a enriquecer la gama de
problemas que involucra el estudio de la multiplica
ción. En este apartado hemos tratado de
comunicar la variedad de estrategias de cálculo que
la misma operación también abarca.
5) La multiplicación como objeto de estudio en EGB
3.
Hasta aquí se ha desplegado una variedad de proble
mas y recursos de cálculo que
involucra el tratamiento de la multiplicación en pr
imero y segundo ciclos de la EGB. Cabe
preguntarse entonces, ¿qué aspectos relativos a la
multiplicación le competen al tercer ciclo?
Problemas de combinatoria
Intentando avanzar sobre el trabajo realizado en se
gundo ciclo, es posible presentar a los
alumnos de este tercer ciclo problemas de combinato
ria, que permitan profundizar el análisis
desplegado en años anteriores. En estos problemas,
el objetivo central es poder determinar la
cantidad de elementos de una colección finita, gara
ntizando “contar todos” y “no contar ninguno
dos veces”. Por ejemplo:
Ejemplo 1:
a.
¿Cuántos números de 4 cifras diferentes pueden for
marse con los dígitos 1,2,3, 4 y 5?
b.
¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse con l
os dígitos 1,2,3,4 y 5?
Con este tipo de situaciones se busca que los alumn
os encuentren estrategias que
permitan contar los elementos de una colección, ent
re ellas organizar toda la información de
modo tal de garantizar la exhaustividad del conteo.
En este punto, el diagrama de árbol es una
representación adaptada a estos problemas y permite
identificar la estructura multiplicativa de
los mismos. No se apunta a la utilización de las fó
rmulas de combinatoria.
Por otro lado, es importante presentar a los alumno
s problemas en los cuales los datos
sean similares, pero los resultados del conteo no.
Esto permite analizar semejanzas y
diferencias entre aquellas situaciones en las que i
nteresa el orden y aquellas en las que no.
Analizar en conjunto estos problemas contribuirá a
establecer sus diferencias. En séptimo año,
se trabajarán estos problemas con cantidades tales
que permitan el conteo caso por caso. En
octavo serán retomados con cantidades mayores de ma
nera tal de plantear la necesidad del
uso de las operaciones.
Pero no solo se trata de profundizar en este ciclo
en el trabajo vinculado al tratamiento
de problemas de combinatoria. Veamos también otros
nuevos aspectos de la multiplicación
para estos años.
26
La multiplicación como objeto de estudio en sí mism
a
Así como se han presentado relaciones posibles de
ser establecidas por los alumnos a
partir de la división (a = b x q + r ; con 0
≤
r < b)
10
; creemos que es pertinente que en el tercer ciclo
los alumnos se enfrenten a situaciones que permitan
identificar nuevos aspectos relevantes de la
relación a x b = c, donde a, b y c son números natu
rales. El objetivo
no es
hacer hincapié en los
problemas específicos de cálculo ligados a los algo
ritmos, ni en su carácter de herramienta para
resolver una amplia gama de situaciones - ambos asp
ectos trabajados en el segundo ciclo - , sino
concebir a la multiplicación entre números naturale
s como objeto de reflexión en sí mismo. Esto
implicará plantear la resolución de problemas que e
xijan un análisis de las relaciones entre los
distintos elementos que forman parte esta operación
. Por otro lado, considerando la familiaridad
que los alumnos tienen con los números naturales, e
ste tipo de trabajo constituye un buen punto
de apoyo para abordar el tratamiento de lo general,
cuestión característica de este ciclo.
¿A qué nuevas relaciones nos estamos refiriendo?.
Veamos algunos ejemplos que ponen
de manifiesto lo que queremos decir.
Ejemplo 1
11
:
Sabiendo que 28 x 16 = 448, determinar, sin hacer l
a cuenta, los resultados de los siguientes
cálculos:
28 x 4; 448 : 7; 14 x 16 ; 448 : 12;
Este problema tiene varias finalidades. Por un lad
o exige a los alumnos leer información
al interior de una expresión aritmética, reconocien
do la “presencia” de los distintos factores que
pueden conformar cada uno de los números. Pero a su
vez, para poder resolverlo, es preciso
concebir a la división como inversa de la multiplic
ación y poder explicitar aquellas
descomposiciones que permiten encontrar los resulta
dos de los cálculos propuestos.
No es esperable, que desde un comienzo, los alumnos
apelen a estas relaciones que
promueve el problema. En principio, los alumnos des
plegarán recursos más vinculados a la
exploración que dará lugar a ensayos y conjeturas.
Será parte de la tarea del docente,
promover la explicitación por parte de los alumnos
de las diferentes maneras de reconocer el
cálculo dado en el cálculo propuesto y poder, de es
ta forma, utilizar la información que propone
el problema. Será también pertinente alentar a los
alumnos a explicitar las razones en las que
se apoyan para proponer el resultado, sin que ello
signifique esperar justificaciones formales
cuyo sentido no puede comprenderse a esta altura de
la escolaridad. El objetivo es que los
alumnos puedan usar el conocimiento como medio de a
nticipación y validación, práctica que
atraviesa la propuesta para todo el ciclo. En este
ejemplo se trabaja sobre un caso particular y,
a medida que se avance, se irán proponiendo problem
as más generales, como ser los
siguientes:
Ejemplo 2:
Un patio rectangular tiene 15 filas y en cada fila
12 baldosas. ¿Será cierto que si se
duplican la cantidad de baldosas del largo y del an
cho, se duplica la cantidad total de baldosas?
Para resolver este problema, los alumnos, en gener
al, apelan a diferentes estrategias.
Algunos optan por realizar el dibujo del patio, dup
licar la cantidad de baldosas de las filas y
columnas en el dibujo, y concluir que no se duplica
la cantidad total de baldosas.
Otros alumnos operan con las cantidades. Realizan
el cálculo 15 x 12 obteniendo 180.
Posteriormente buscan los dobles de ambas cantidade
s y vuelven a operar: 30 x 24 = 720,
concluyendo que no se duplica la cantidad de baldos
as. De todos estos alumnos, sólo algunos
van un poco “más allá” de lo que pide el problema:
intentan establecer una relación entre 180 y
720, reconociendo que, no solo no se duplica la can
tidad de baldosas, sino que se cuadruplica.
Esta relación entre “el doble de baldosas en cada l
ado y la nueva cantidad de baldosas” es el
punto central del problema. Pero analicemos ahora l
os dos primeros modos de resolverlo.
Quienes realizan el dibujo, constatan empíricamente
que no se duplica la cantidad de baldosas,
igual que los que hacen las cuentas (el resultado n
o es el doble). Pero en ninguno de los dos
casos pueden explicar el motivo (matemático) por el
cual se cuadruplica la cantidad de
baldosas. Con el dibujo, “se ve” que son cuatro vec
es más, pero, desde el punto de vista de
quien hace el dibujo, podría tratarse de un hecho
contingente: el resultado es este, pero nada
10
Ver Documento Nº 2: Orientaciones didácticas para
la enseñanza de la división. D.E.P. Prov. de Bs. As
. Año 2001
11
Los cuatro problemas que se analizan en este apart
ado fueron tomados del Documento para
séptimo grado. Matemática. Dirección de Currícula.
G.C.B.A., 2001
27
indica que no podría haber sido otro. Lo mismo podr
íamos decir de quienes resuelven el
problema apelando a las cuentas: dio cuatro veces m
ás, pero podría haber sido otro.
El gran desafío consiste en promover con los alumno
s un análisis de la operación y sus
propiedades, de modo de que puedan empezar a antici
par que el resultado va a ser cuatro
veces más, aunque no hagan todas las cuentas y no s
e apoyen en un dibujo. Es decir que se
intenta que los alumnos puedan dar cuenta matemátic
amente de los motivos por los cuales el
resultado debe ser cuatro veces más. Éste es más ex
plícitamente el objetivo del siguiente
problema:
Ejemplo 3:
El producto entre dos números es 480. ¿Es posible
encontrar el resultado de multiplicar
el doble del primero por el doble del segundo? En c
aso de ser posible, encontrar dicho
resultado. En caso de no ser posible, explicar por
qué.
Este problema, para los alumnos, resulta más compl
ejo, ya que no están determinados
los números que intervienen en la multiplicación. E
n consecuencia, muchos suponen valores
que respondan a las características del enunciado,
por ejemplo, 120 x 4 = 480 y, a partir de allí,
duplican cada factor y responden que
“es cuatro veces más”.
Es en este punto donde las
intervenciones de los docentes pueden permitir un a
vance en los análisis de los alumnos. Por
ejemplo, al proponer escribir en el pizarrón alguno
s de los diferentes ejemplos de productos
encontrados por los alumnos que den 480, habilita a
una reflexión tendiente a identificar que “no
importan” los pares de números elegidos, siempre, e
l resultado del doble del primero por el
doble del segundo, da cuatro veces el resultado ori
ginal, o sea 1920. Recién allí se presentan
condiciones un tanto más favorables para solicitar
a los alumnos una escritura que represente
tal situación, apostando a que aparezcan o circulen
diferentes notaciones que den cuenta de
esta nueva relación. Por ejemplo: a x b = 480 lu
ego a x 2 x b x 2 = 1920, o bien, 4 x a x b =
1920, escrituras que permiten identificar los motiv
os por los cuales se obtiene el cuádruple.
Este mismo tipo de tratamiento es pertinente conti
nuarlo con problemas como el
siguiente:
Ejemplo 4
:
El producto entre dos números es 6358. ¿Será posib
le conocer el resultado de
multiplicar el doble del primero por el triple del
segundo?
El objetivo central de estos últimos tres ejemplos
es que los alumnos identifiquen las
diferentes variaciones que sufre un producto, a med
ida que varían los factores del mismo,
relaciones que implican una nueva conceptualización
en cuanto a la multiplicación de números
naturales.
También es posible, con los alumnos de los octavos
años de las EGB, abordar algunas
relaciones vinculadas al tratamiento de la multipli
cación, pero ampliando el campo numérico al
conjunto de enteros. En este caso, se presenta una
nueva dificultad: la relación entre los signos
de los factores y el resultado de la multiplicación
. Veamos el siguiente ejemplo
Ejemplo 5
:
Encontrar cinco pares de números que multiplicados
den -12.
Los alumnos, al enfrentarse a este pro
blema, ya conocen varias relaciones que
comandan la multiplicación entre números naturales,
pero se encontrarán con la problemática
de la multiplicación de un número negativo por otro
número positivo, o de dos números
negativos.
Algunos alumnos se apoyan en uno de los modos en lo
s cuales se ha tratado la
multiplicación en primero y segundo ciclos de EGB,
por ejemplo recordando que 4 x 3 se define
como la suma 3 + 3 + 3 + 3 = 12 y entonces propon
gan 4 y (-3) como uno de los pares
posibles puesto que 4 x (-3) = (-3) + (-3) + (-3
) + (-3) = -12. Es importante alentar este uso
natural de la multiplicación, en este caso sin nece
sidad de explicitar que se trata de una
extensión de la multiplicación ya definida en N.
Otro par posible es – 4 y 3, planteándose en este
caso la cuenta (- 4) x 3 que puede
ser tratada de manera similar al caso anterior.
Y el par -3, -4, ¿es una respuesta posible? Hemos v
isto a alumnos proponer
razonamientos de este tipo:
“ (-3) x (-4) es 12 porque si fuera - 12 sería l
o mismo que (-3) x 4
y entonces sería -4 = 4”
28
Creemos que es posible aceptar este tipo de razonam
ientos en este nivel de la
escolaridad. Como el docente sabe, se trata en real
idad de una extensión implícita de la
propiedad cancelativa, válida en el conjunto de los
naturales, a un nuevo conjunto; nos parece
que no se trata, en esta instancia, de abrir esta
problemática con los alumnos.
Hay otros argumentos que el docente puede utilizar
para dar sentido a la multiplicación
de dos negativos. Por ejemplo, podría plantear que
una propiedad muy importante en el
conjunto de los números naturales es la propiedad d
istributiva de la multiplicación respecto de la
resta. Queremos que esta propiedad siga valiendo en
Z, es decir que podamos usarla para los
números negativos. Por lo tanto, sabiendo que (-3)
x 0 = 0, debe verificarse entonces que
también (-3) x (4 + (-4)) = 0.
Por la propiedad distributiva (que queremos que sig
a valiendo en Z) se cumple
(-3) x (4 + (-4)) = (-3) x 4
+ (-3) x (-4) =0
Y como (-3) x 4 = -12, el resultado de (-3) x (-4)
es 12.
Es posible que algún alumno “conozca” las reglas de
la multiplicación entre enteros y las
enuncie: “un negativo por un negativo da positivo”
o “más por menos es menos”, etc. En dicho
caso el docente podrá instalar el debate en torno a
la fundamentación de las reglas intentando
hacer circular algunas de las justificaciones anter
iores.
Intentando profundizar el análisis del producto ent
re enteros, se podrá proponer a los
alumnos un problema como el siguiente:
Ejemplo 6:
Encontrar un número entero de manera tal que al mul
tiplicar dicho número por (-7) el
resultado sea positivo. ¿Hay más de uno?
No se pretende, con este tipo de problemas, que los
alumnos los resuelvan mediante el
planteo de inecuaciones, sino que permita un anális
is de diferentes posibilidades sustentado en
las características de las operaciones involucradas
, en este caso, la relación entre el signo de
cada uno de los números que intervienen en un produ
cto y el signo del resultado. Por otra parte,
se espera que los alumnos comprendan que cuando se
habla de un entero, por ejemplo a, éste
puede ser mayor o menor que cero, de la misma forma
que si se hablara del entero -b.
6) Una propuesta de distribución de contenidos por
año
Hemos intentado mostrar a lo largo de este document
o el trabajo realizado con un
conjunto de docentes de diferentes escuelas y regio
nes de la Provincia en torno a la enseñanza
de la multiplicación y plantear algunas orientacion
es didácticas que permitan ampliar el trabajo
alrededor de esta operación en la escolaridad oblig
atoria. La complejidad de este contenido es
tal que debe abarcar los tres ciclos de la escolari
dad, sin embargo cada ciclo debe plantear
nuevos aspectos o la ampliación de los ya conocidos
. Con el fin de distinguir los diferentes
aspectos que pueden ser abordados sistemáticamente
en cada uno de los ciclos, proponemos a
continuación un ensayo de distribución tomando como
fuentes el Diseño Curricular de la
Provincia de Bs. As. y considerando como complement
o, los Pre Diseños Curriculares de la
Ciudad de Bs. As. No tiene carácter prescriptivo, s
ino que pretende ser un aporte para el debate
en cada escuela.
Contenidos sobre la multiplicación en el Primer cic
lo
-
Resolución de problemas que involucran series propo
rcionales y organizaciones
rectangulares mediante diferentes procedimientos:
dibujos, conteo, sumas reiteradas, etc.
Explicitación y comparación de las estrategias util
izadas (1º y 2º año).
-
Resolución de problemas correspondientes a diferent
es significados de la multiplicación
(series proporcionales, organizaciones rectangulare
s, combinatoria) por medio de variados
procedimientos inicialmente y luego por medio de es
crituras multiplicativas (2º y 3º año).
-
Interpretación de los significados y usos de la mul
tiplicación con números naturales,
elaborando e implementando estrategias de cálculo e
n forma exacta y aproximada,
produciendo y resolviendo situaciones problemáticas
( 2º y 3º año).
29
-
Estimación e interpretación de resultados de cálcul
os en forma mental, por escrito y con uso
de calculadora, comprobando su razonabilidad y just
ificando los procedimientos empleados
(2º y 3º año).
-
Investigación de regularidades y propiedades de una
colección de productos organizados en
tablas y cuadros con la finalidad de ser reutilizad
os en otros problemas y posteriormente
memorizados (3º año)
-
Dominio progresivo de variados recursos de cálculo
que permitan realizar multiplicaciones.
Utilización de resultados numéricos conocidos (mult
iplicación x la unidad seguida de ceros y
productos de la tabla pitagórica) y de las propieda
des de los números y las operaciones
(diferentes descomposiciones) para resolver otros c
álculos (3º año)
-
Elaboración de distintas estrategias de cálculo apr
oximado para resolver problemas en los
cuales no sea necesario un cálculo exacto (3º año).
-
Investigación y reconstrucción del algoritmo de la
multiplicación a partir de los recursos
elaborados por los alumnos para realizar cálculos m
entales (3º año).
Contenidos sobre la multiplicación en el Segundo ci
clo
-
Resolución de problemas que involucran organizacion
es rectangulares utilizando la
multiplicación (4º y 5º años).
-
Resolución de problemas de proporcionalidad por med
io de diversos procedimientos,
estudio de sus diferentes propiedades y análisis de
los límites de la misma (4º y 5º años)
-
Resolución de problemas de proporcionalidad que inv
olucren el análisis de tablas, cuadros,
gráficos, etc. (5º y 6º años).
-
Resolución de problemas de combinatoria inicialment
e por medio de gráficos, listas,
cuadros, diagramas de árbol, sumas, etc. y luego po
r medio de multiplicaciones (4º, 5º y 6º
años)
-
Comprensión del significado y aplicación de la mult
iplicación con números naturales (4º, 5º y
6º años)
-
Elaboración de distintas estrategias de cálculo exa
cto y aproximado, de cálculo algorítmico,
mental y con calculadora (4º, 5º y 6º años).
-
Estimación del resultado de multiplicaciones apoyán
dose en propiedades de los números y
de las operaciones (4º, 5º y 6º años).
-
Construcción de variados algoritmos para multiplica
r con factores de diversa cantidad de
cifras a partir del estudio de las propiedades invo
lucradas (4º y 5º años) .
-
Utilización de la calculadora para resolver situaci
ones problemáticas multiplicativas de
varios pasos, para controlar multiplicaciones real
izadas por otros procedimientos y para
verificar relaciones anticipadas entre números y op
eraciones (4º, 5º y 6º años)
Contenidos sobre la multiplicación en el Tercer cic
lo
-
Estimación, interpretación y comunicación de los cá
lculos, comprobando su razonabilidad,
valorando la precisión en la expresión de los mismo
s y justificando los procedimientos
empleados.
-
Producir y analizar primeras escrituras de las solu
ciones que admite la relación en términos
algebraicos
-
Fortalecer el sentido de la multiplicación como ob
jeto matemático.
-
Avanzar en la reflexión sobre la variación del prod
ucto a partir de la variación de sus
factores.
-
Anticipación de resultados esperados a partir de la
puesta en funcionamiento de las
propiedades de la multiplicación.
30
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o, retomando preguntas o
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7
